НЕЧЕТКИЕ ТЕОРЕМЫ

Под нечеткой теоремой или утверждением мы понимаем утверждение общего вида ЕСЛИ , ТО , значение истинности которого есть истинный в приближенном смысле и которое можно вывести из системы аксиом при помощи приближенных рассуждений, например путем повторного применения обобщенного правила modus ponens или аналогичных правил.

В качестве неформальной иллюстрации понятия нечеткой теоремы рассмотрим теорему элементарной геометрии, которая утверждает, что если ,  и  - середины сторон треугольника (см. рис. 8.5), то прямые ,  и  пересекаются в одной точке.

Рис. 8.5. Теорема из элементарной геометрии.

Нечеткую модификацию этой теоремы можно представить следующим образом:

Нечеткая теорема 8.12. Пусть ,  и  - примерно прямые линии, которые образуют примерно равносторонний треугольник с вершинами , ,  (см. рис. 8.6). Пусть ,  и  - примерно середины сторон ,  и  соответственно. Тогда примерно прямые линии , и  образуют примерно треугольник , который более или менее (более или менее мал) относительно треугольника .

Рис. 8.6. Нечеткая геометрическая теорема.

Прежде чем приступить к «доказательству» этой нечеткой теоремы, мы должны уточнить смысл выражений примерно прямая линия, примерно середина и т. п. Под примерно прямой линией  мы будем понимать любую кривую, проходящую через точки  и , такую, что расстояние любой точки кривой от прямой линии  мало по отношению к длине . Если обратиться к рис. 8.7, то сказанное означает, что мы назначаем лингвистическое значение малый расстоянию , интерпретируя  как нечеткую переменную.

Рис. 8.7. Определение примерно прямой линии.

Пусть  обозначает прямую линию . Тогда под примерно средней тонкой  мы понимаем точку на , расстояние которой от  - середины  - мало.

Вернемся к формулировке нечеткой теоремы. Пусть  - пересечение прямых линий  и  (рис. 8.8). Поскольку предполагается, что  - примерно середина , то расстояние от  до  мало. Следовательно, расстояние от любой точки на  до  мало. Далее, так как расстояние от любой точки на  до  мало, то расстояние от любой точки на  до  более или менее мало.

Рис. 8.8. Иллюстрация приближенного доказательства нечеткой теоремы.

Те же рассуждения применимы к расстоянию от точек на  до . Затем, принимая во внимание, что угол между  и  составляет примерно 120°, заключаем, что расстояние от точки пересечения линий  и  до точки  (более или менее)2 мало (т. е. более или менее (более или менее мало)). Отсюда следует, что расстояние между любой вершиной треугольника  и точкой  (более или менее)2 мало. Именно в этом смысле треугольник  (более или менее)2 мал по отношению к треугольнику .

Приведенное выше рассуждение является приближенным и качественным по своей природе. В качестве отправной точки в нем используется тот факт, что прямые ,  и  пересекаются в точке , а рассуждение опирается на качественное представление о непрерывности. Ясно, что «доказательство» было бы длиннее и сложнее, если бы нам пришлось начинать с основных аксиом евклидовой геометрии, а не с теоремы, которая служила нам отправной точкой.

То, что мы на данном этапе в состоянии сказать о нечетких теоремах, имеет весьма предварительный и незавершенный характер. Тем не менее они представляются нам весьма заманчивой областью исследований и могут оказаться полезными в различного типа плохо определенных процессах принятия решений.