6. ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИСТИННОСТИ И НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

В каждодневных разговорах мы часто характеризуем степень истинности утверждения посредством таких выражений, как очень верно, совершенно верно, более или менее верно, ложно, абсолютно ложно и т. д. Сходство между этими выражениями и значениями лингвистической переменной наводит на мысль о том, что в ситуациях, когда истинность или ложность утверждения определены не достаточно хорошо, может оказаться целесообразным трактовать истинность как лингвистическую переменную, для которой истинно и ложно — лишь два первичных терма в терм-множестве этой переменной, а не пара крайних точек в множестве значений истинности. Такую переменную будем называть лингвистической переменной истинности, а ее значения — лингвистическими значениями истинности.

Трактовка истинности как лингвистической переменной приводит к нечеткой лингвистической логике, или просто нечеткой логике, которая совершенно отлична от обычной двузначной или даже многозначной логики. Эта нечеткая логика является основой того, что можно было бы назвать приближенными рассуждениями, т. е. видом рассуждений, в которых значения истинности и правила вывода являются нечеткими, а не точными. Приближенные рассуждения во многом сродни рассуждениям, которыми пользуются люди в некорректно определенных или не поддающихся количественному описанию ситуациях. В самом деле, вполне возможно, что многие, если не большинство человеческих рассуждений по своей природе приближенны, а не точны.

В дальнейшем будем пользоваться термином высказывание для обозначения утверждений вида: «», где  – название предмета, а  — название нечеткого подмножества универсального множества , например «Джон — молодой», « — малый», «яблоко — красное» и т. п. Если интерпретировать  как нечеткий  предикат, то утверждение «» можно перефразировать как «». Эквивалентно этому высказывание «» можно интерпретировать как уравнение назначения, в котором лингвистической переменной, обозначающей какое-либо свойство элемента , назначается в качестве значения нечеткое множество , например

;

;

.

Будем предполагать, что высказыванию типа «» соответствуют два нечетких подмножества: 1)  — смысл , т. е. нечеткое подмножество с названием универсального множества , и 2) значение истинности утверждения «», или просто значение истинности , которое обозначается как  и определяется как возможно нечеткое подмножество универсального множества значений истинности . В случае двузначной логики  (, ). В дальнейшем, если не будет оговорено противное, будем предполагать, что .

Значение истинности, являющееся числом в , например , будем называть числовым значением истинности. Числовые значения истинности играют роль значений базовой переменной для лингвистической переменной Истинность. Лингвистические значения переменной Истинность будем называть лингвистическими значениями истинности. Более точно будем предполагать, что Истинность — название булевой лингвистической переменной, для которой первичным является терм истинный, а терм ложный определяется не как отрицание терма истинный, а как его зеркальное отражение относительно точки  в . Обычно будем полагать, что терм-множество переменной Истинность имеет вид

          (6.1)

где термы являются названиями значений истинности.

Предполагается, что смысл первичного терма истинный является нечетким подмножеством интервала  с функцией принадлежности типа показанной на рис. 6.1. Более точно терм истинный следует рассматривать как название нечеткой переменной, ограничением для которой является нечеткое множество, изображенное на рис. 6.1.

Рис. 6.1. Функции совместимости для лингствических значений истинности истинный и ложный.

Одно из возможных приближений функции принадлежности значения истинный определяется выражением

                 (6.2)

Здесь точка  является точкой перехода. (Отметим, что носителем нечеткого множества истинный является интервал ). Соответственно для терма ложный имеем (см. рис. 6.1)

В некоторых случаях проще полагать, что терм истинный является подмножеством конечного универсального множества значений истинности

,             (6.3)

а не единичного интервала . При таком предположении нечеткое множество истинный можно определить, например, так:

,

где такая пара, как, например, , означает, что совместимость значения истинности  с термом истинный равна .

В последующем изложении мы будем интересоваться главным образом общими соотношениями вида

  (6.4)

как, например,

где высокий и темный и красивый — лингвистическое значение переменной , а не очень истинный и не очень ложный — лингвистическое значение переменной истинности . Сокращенно (6.4) будем записывать в виде

,

где  — лингвистическое значение переменной , а  — лингвистическое значение переменной .

Далее предположим, что ,  и , где * обозначает бинарную связку, — лингвистические значения переменной  со значениями истинности ,  и соответственно. Основной вопрос, возникающий в связи с этим, состоит в следующем: можно ли выразить  как функцию  и , т. е. можно ли писать

,                  (6.5)

где обозначает бинарную связку, соответствующую лингвистической переменной истинности . Именно этот вопрос лежит в основе последующего изложения.