СОСТАВНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ ИСТИННОСТИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЗНАЧЕНИЙ ИСТИННОСТИ

В предыдущем изложении мы ограничились рассмотрением унарных в смысле определения 2.1 лингвистических переменных истинности. Ниже мы определим понятие составной переменной истинности и коротко остановимся на некоторых его свойствах.

Итак, пусть

                      (6.73)

обозначает -арную составную лингвистическую переменную истинности, где ,  — унарная лингвистическая переменная истинности с терм-множеством , универсальным множеством  и базовой переменной  (см. определение 5.1). Для простоты будем иногда пользоваться символом  для обозначения как названия -й переменной в (6.73), так и общего названия значений истинности переменной . Кроме того, будем предполагать, что  и . Если рассматривать  как составную переменную, компоненты которой — переменные  — принимают значения из соответствующих множеств , то  является -арной обычной (не нечеткой) переменной (см. (2.3) и далее). Таким образом, ограничение ,  обусловленное переменной , есть обычное (не нечеткое) отношение в декартовом произведении , которое можно представить как неупорядоченный перечень упорядоченных наборов вида

 (6.74)

Наборы из  термов в  будем называть списками назначенных значений истинности, так как каждый такой набор можно интерпретировать как результат назначения значений истинности списку высказываний , причем

                                                                                                             (6.75)

представляет собой составное высказывание. Если, например,

,

то тройка значений в  вида (очень истинный, истинный, очень истинный) соответствует следующим уравнениям назначения:

,             (6.76)

,                      (6.77)

.          (6.78)

Основываясь на этой интерпретации наборов в , мы будем часто называть распределением значений истинности. Соответственно этому ограничение , обусловленное -арной переменной , где  — подпоследовательность последовательности индексов , будем называть маргинальным распределением значений истинности, индуцированным распределением (см. (2.8)). Далее, используя обозначения, принятые в § 2 (см. также замечание 4.7), соотношение между

сокращенно можно выразить формулой

где  обозначает операцию проектирования на декартово произведение

Пример 6.6. Предположим, что  имеет вид

      (6.80)

Чтобы получить , вычеркнем компоненту  в каждой тройке и получим

             (6.81)

Аналогичным образом, вычеркивая компоненты  в , получим

.                                (6.82)

Если рассматривать  как -арную обычную (не нечеткую) переменную, значениями которой являются лингвистические значения истинности, то для случая лингвистических переменных истинности определение невзаимодействия (определение 2.9) примет следующий вид.

Определение 6.7. Компоненты -арной лингвистической переменной истинности  являются -невзаимодействующими ( обозначает «лингвистический») тогда и только тогда, когда распределение значений истинности  сепарабельно в том смысле, что

.                                                            (6.83)

Смысл этого определения в том, что если  суть -невзаимодействующие переменные, то назначение конкретных лингвистических значений истинности переменным  не влияет на значения истинности, которые могут быть назначены дополнительным компонентам в , т. е. компонентам . Прежде чем иллюстрировать понятие -невзаимодействия на примерах, определим другой тип невзаимодействия, который будем называть -невзаимодействием ( означает базовую переменную).

Определение 6.8. Компоненты -арной лингвистической переменной истинности являются -невзаимодействующими тогда и только тогда, когда соответствующие им базовые переменные  — невзаимодействующие в смысле определения 2.9, т. е. переменные  не связаны общими ограничениями.

Чтобы проиллюстрировать определенные выше понятия невзаимодействия, рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 6.9. Для распределения значений истинности примера 6.6 имеем

     (6.84)

и, таким образом,

 (6.85)

откуда следует, что  — не сепарабельно и, следовательно,  суть -взаимодействующие переменные.

Пример 6.10. Рассмотрим составное высказывание вида  и предположим для простоты, что . С точки зрения (6.11), если значение истинности высказывания  есть истинно, то значение истинности высказывания не  есть ложно, и обратно. Следовательно, распределение значений истинности для рассматриваемого высказывания должно иметь вид

        (6.86)

Это распределение индуцирует маргинальные распределения

                                                   (6.87)

Далее,

   (6.88)

и поскольку

то отсюда следует, что  и  являются -взаимодействующими переменными.

Пример 6.11. Пример, рассмотренный выше, можно использовать и в качестве иллюстрации -взаимодействия. В частности, независимо от значений истинности, назначенных высказываниям  и не, из определения отрицания не (см. (3.33)) следует, что базовые переменные  и  связаны между собой уравнением

.                                         (6.89)

Другими словами, в случае составного высказывания вида  сумма численных значений истинности высказываний  и не  должна равняться единице.

Замечание 6.12. Следует отметить, что в примере 6.11 -взаимодействие является следствием того, что высказывание  связано  с  высказыванием  отрицанием. Вообще  же  могут быть -взаимодействующими переменными, не будучи -взаимодействующими.

Полезное применение понятия взаимодействия связано со значением истинности неизвестно (см. (6.12)). Полагая для простоты , предположим, что

,                           (6.90)

,            (6.91)

причем одно и только одно из этих высказываний истинно. Отсюда вытекает, что хотя значения истинности высказываний  и  суть неизвестно ,  т. е.

                        (6.92)

они связаны между собой соотношениями

,                (6.93)

.               (6.94)

Распределение значений истинности для соотношений (6.90) и (6.91) можно рассматривать как решение системы уравнений

,                (6.95)

.               (6.96)

Это решение имеет вид

.                  (6.97)

Отметим, что из (6.97) вытекает

,                  (6.98)

,                 (6.99)

что согласуется с (6.92). Отметим также, что  и  суть -взаимодействующие переменные в смысле определения 6.8, где :

Далее, если  и  заменить на

,                              (6.100)

             (6.101)

и допустить, что и и  могут быть истинными, то мы по-прежнему будем иметь

,                   (6.102)

,                  (6.103)

но уравнение связи примет вид

.                             (6.104)

В этом случае распределение значений истинности является решением уравнения (6.104) и имеет вид

    (6.105)

Важный вывод, который можно сделать из рассмотренных выше примеров, состоит в том, что в некоторых случаях распределение значений истинности может быть задано в неявном виде, например как решение системы уравнений, а не как список упорядоченных наборов значений истинности. Как правило, это бывает в том случае, когда лингвистические значения назначаются не каждому высказыванию  в , а булевым выражениям, содержащим две или большее число компонент А.

Следует также отметить, что распределения значений истинности могут быть вложенными. Так, в случае унарного высказывания мы можем иметь вложенную последовательность высказываний вида

.         (6.106)

Ограничения, индуцированные высказываниями такого типа, можно вычислять следующим образом.

Пусть базовой переменной в (6.106) является , и пусть  обозначает ограничение на переменную . Тогда высказывание «Вера очень очень умна» означает, что

.                (6.107)

Далее, утверждение ««Вера очень очень умна» — очень истинно» означает, что значение степени принадлежности Веры нечеткому множеству.  есть очень истинно (см. (6.6)). Пусть            обозначает функцию принадлежности нечеткого множества очень истинно (см. (6.17)) и пусть  обозначает функцию принадлежности . Будем рассматривать , как отношение: , и пусть обозначает обратное отношение. Тогда  индуцирует нечеткое множество , определяемое равенством

,                    (6.108)

причем  можно вычислить при помощи принципа обобщения в форме (3.80). Нечеткое множество  представляет собой ограничение на , индуцированное высказыванием ««Вера очень очень умна» — очень истинно».

Продолжая рассуждать аналогичным образом, приходим к выводу о том, что ограничение на , индуцированное высказыванием «««Вера очень очень умна» — очень истинно» — истинно», можно выразить следующим образом:

,                               (6.109)

где  обозначает отношение, обратное к  — функции принадлежности ограничения , имеющего вид (6.108). Итак, мы получили способ вычисления ограничения, индуцированного вложенной последовательностью высказываний типа (6.106).

Основная идея изложенного выше метода состоит в том, что высказывание вида ««и есть » есть », где  — нечеткий предикат и  — лингвистическое значение истинности, видоизменяет ограничение, связанное с , в соответствии с выражением

,

где  — функция, обратная функции принадлежности , а  — ограничение, индуцированное высказыванием ««и есть  » есть ».