ЛИНГВИСТИЧЕСКИЕ ВЕРОЯТНОСТИ

Чтобы упростить изложение, будем рассматривать переменную  с конечным универсальным множеством

.                                        (7.1)

Кроме того, будем предполагать, что ограничение, обусловленное , совпадает с . Иными словами, любая точка в  может быть выбрана в качестве значения переменной .

Каждому элементу  мы поставим в соответствие лингвистическую вероятность , которая является булевой лингвистической переменной в смысле определения 5.9; , — базовая переменная для . Для определенности предположим, что универсальное множество , соответствующее , представляет собой либо единичный интервал [0, 1], либо конечное множество

.                                 (7.2)

Будем употреблять  в качестве общего названия переменных ; типичное терм-множество для  имеет такой вид:

               (7.3)

где термы правдоподобно, вероятно и близко к играют роль первичных термов.

Будем считать, что функция принадлежности нечеткого множества правдоподобно имеет тот же вид, что и функция принадлежности нечеткого множества истинно (см. (6.2)), а функции принадлежности нечетких множеств не правдоподобно и неправдоподобно определим следующим образом:

,                       (7.4)

,                        (7.5)

где  — общее название переменных .

Пример 7.1. Графический пример смысла, приписываемого термам правдоподобно, не правдоподобно, очень правдоподобно и неправдоподобно, приведен на рис.7.1.

Рис. 7.1. Функции совместимости значений правдоподобно, не правдоподобно, неправдоподобно и очень правдоподобно.

Численное выражение первичного терма правдоподобно имеет вид

,                    (7.6)

откуда

                                 (7.7)

,                     (7.8)

.         (7.9)

Будем предполагать, что терм вероятно более или менее синонимичен терму правдоподобно. Терм близко к , где  — число из интервала [0, 1], будем записывать сокращенно как  или ), считая, что  — «наилучший пример» нечеткого множества «». Имея это в виду, можно записать

,                           (7.10)

,                      (7.11)

,    (7.12)

отсюда следует, что

Терм в  будем обозначать через  или  в случае, когда двойной индекс необходим. Так, если  очень правдоподобно, то  обозначает, что терм очень правдоподобно назначен в качестве значения лингвистической переменной .

Введем -арную лингвистическую переменную , которая представляет собой список значений лингвистических вероятностей, соответствующий . Саму переменную  будем называть при этом лингвистической случайной переменной. По аналогии с распределениями значений истинности (см. (6.74)) совокупность списков значений лингвистических вероятностей будем называть распределением лингвистических вероятностей.

Назначение переменной  значения  можно выразить равенством

                                                           (7.13)

где  используется как общее название нечетких переменных, составляющих . Например, можно писать

,                 (7.14)

где очень правдоподобно можно отождествить с  (т. е. со значением , назначенным переменной ).

Важное свойство лингвистических вероятностей  состоит в том, что они являются -взаимодействующими в смысле определения 6.8. Взаимодействие между  есть следствие ограничения ( арифметическая сумма)

,                                     (7.15)

в котором  — базовые переменные (т. е. числовые вероятности), связанные с .

Более конкретно, пусть  обозначает  нечеткое  -арное   отношение  в , представляющее (7.15). Пусть, кроме того,   обозначает ограничение на значения переменной . Тогда ограничение,  обусловленное  -арной нечеткой  переменной , можно записать в виде

.     (7.16)

Откуда следует, что без ограничения (7.15) нечеткие переменные  были бы невзаимодействующими.

Пример 7.2. Допустим, что

,            (7.17)

.       (7.18)

Тогда

         (7.19)

Что касается отношения , то его можно выразить в виде

,            (7.20)

и, образуя пересечение (7.19) и (7.20), получаем

,               (7.21)

т.е. выражение для ограничения, обусловленного составной переменной . Ясно, что  состоит из тех членов выражения для , которые удовлетворяют ограничению (7.15).

Замечание 7.3. Следует отметить, что ограничение  вида (7.21) является нормальным ограничением (см 3.23)). Это справедливо также и в более общем случае, когда имеют вид

,                   (7.22)

и  Заметим, что в примере 7.2 мы имеем

,                                        (7.23)

,                                       (7.24)

.                                             (7.25)