ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ И НЕВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Основным понятием, которое нам понадобится в дальнейшем, является понятие взаимодействия двух или большего числа переменных - понятие, аналогичное понятию зависимости случайных величин. Пусть переменная  связана с ограничением , которое индуцирует ограничения  на  соответственно. Введем

Определение 2.9. Переменные  называются невзаимодействующими при ограничении  тогда и только тогда, когда  сепарабельно, т. е.

,                       (2.16)

где для

 на ;                   (2.17)

здесь  и  дополнение  в .

Пример 2.10. На рис. 2.4,а представлены графически две невзаимодействующие переменные  и , ограничениями  и  для которых являются интервалы; в этом случае  есть декартово произведение этих интервалов. На рис. 2.4,б ограничение  - собственное подмножество множества  и, следовательно,  и  - взаимодействующие переменные. Отметим, что в примере 2.3 переменные  и  - взаимодействующие.

Рис. 2.4.а.  и  - невзаимодействующие переменные. б.  и  - взаимодействующие переменные

Как будет показано в § 4 в более общем случае, если  - невзаимодействующие переменные, то -арное уравнение назначения

                     (2.18)

можно разложить в последовательность  унарных уравнений назначения:

                   (2.19)

где ,  - проекция ограничения  на , причем по определению 2.9

             (2.20)

В случае взаимодействующих переменных  последовательность  унарных уравнений назначения принимает следующий вид [см. также (4.34)]:

                                 (2.21)

где  обозначает индуцированное ограничение на   при данных . Характеристическая функция этого условного ограничения выражается следующим образом[см. (2.13)]:

                                           (2.22)                              

причем аргументы  в правой части этого выражения играют роль параметров.

Рис. 2.5. - ограничение на  при условии .

Замечание 2.10. Система (2.21) означает, что в случае взаимодействующих переменных, как только переменной  назначено значение , ограничение на  становится зависимым от . Ограничение на становится зависимым от значений, назначенных переменным  и , и, наконец, ограничение на  становится зависимым от . Более того, из (2.22) следует, что ограничение на  при заданных  по существу то же, что и маргинальное ограничение на , при условии, что  рассматриваются как параметры. Иллюстрацией этого служит рис. 2.5.

В аналогии с саквояжем (см. замечание 2.4)  — невзаимодействующие переменные, если перегородки между отделениями саквояжа, обозначенными через , не податливые. В этом случае то, что помещено в одном отделении, не влияет на предметы, которые можно поместить в другие отделения.

Если же перегородки между отделениями податливые, то переменные  становятся взаимодействующими в том смысле, что помещение какого-либо предмета, скажем , в  влияет на то, что можно поместить в остальные отделения. С этой точки зрения последовательность унарных уравнений (2.21) есть описание того, каким образом помещение предметов  в отделения  влияет на ограничение для отделения .

Определяя понятия невзаимодействия, маргинального ограничения, условного ограничения и т. п. для обычных (не нечетких) переменных, мы ставили своей целью а) показать, что понятия, аналогичные понятиям статистической независимости, маргинального распределения, условного распределения и т. п. применимы также к неслучайным, не нечетким переменным; и б) получить основу для введения подобных понятий в случае нечетких переменных.

Прежде чем перейти к этим понятиям, мы рассмотрим некоторые свойства нечетких множеств и сформулируем принцип обобщения, который будет играть важную роль в дальнейшем изложении.