КОМПОЗИЦИОННОЕ ПРАВИЛО ВЫВОДА

Композиционное правило вывода — это всего лишь обобщение следующей знакомой процедуры. Обращаясь к рис. 8.1, предположим, что имеется кривая  и задано значение . Тогда из того, что  и , мы можем заключить, что .

Обобщим теперь этот процесс, предположив, что  — интервал, а  — функция, значения которой суть интервалы, как на рис. 8.2. В этом случае, чтобы  найти  интервал  , соответствующий интервалу , мы сначала построим цилиндрическое множество  с основанием  (см. (3.58)) и найдем его пересечение  с кривой, значения которой суть интервалы. Затем спроектируем это пересечение на ось  и получим желаемое значение  в виде интервала .

Чтобы продвинуться еще на один шаг по пути обобщения, предположим, что  — нечеткое подмножество оси , а  — нечеткое отношение в . Вновь образуя цилиндрическое нечеткое множество  с основанием  и его пересечение с нечетким отношением  (см. рис. 8.3), мы получим нечеткое множество , которое является аналогом точки пересечения  на рис. 8.1. Проектируя затем это множество на ось , получим значение в виде нечеткого подмножества оси . Таким образом, из того, что  и  - нечеткое подмножество оси , мы получаем значение  в виде нечеткого подмножества оси .

Рис. 8.1. Вывод из предпосылок  и .

Рис. 8.2. Иллюстрация композиционного правила вывода в случае переменных со значениями-интервалами.

Более конкретно, пусть   и  обозначают функции принадлежности множеств и  соответственно. Тогда по определению множества  (см. (3.58))

                                                                 (8.1)

и, следовательно,

.          (8.2)

Проектируя множество  на ось , получаем из (8.2) и (3.57):

,                                              (8.3)

т. е. выражение для функций принадлежности проекции (тени)  на ось . Сравнивая это выражение с определением композиции  и  (см. (3.55)), видим, что множество  можно представить как

,                                                                             (8.4)

где знак  обозначает операцию композиции. Как утверждается в § 3, если нечеткие множества  и имеют конечные носители, то операция композиции сводится к максминному произведению матриц.

Рис. 8.3. Иллюстрация композиционного правила вывода для нечетких переменных.

Пример 8.1. Предположим, что  и  имеют вид

                                                        (8.5)

и

              (8.6)

Выражая  и  с помощью матриц и образуя матричное произведение (8.4), получаем

                                (8.7)

Вышеизложенные замечания и примеры помогают обосновать следующее правило вывода.

Правило 8.2. Пусть  и  — два универсальных множества с базовыми переменными  и  соответственно. Пусть  обозначают ограничения на  и  соответственно и представляют собой нечеткие отношения в . Пусть  и  — нечеткие подмножества множеств . Тогда композиционное правило вывода утверждает, что решение уравнений назначения

,                                           (8.8)

                                       (8.9)

имеет вид

,                                                 (8.10)

где   — композиция  и . В этом смысле мы можем делать вывод  из того, что и .

В качестве простой иллюстрации применения этого правила предположим, что

,                            (8.11)

        (8.12)

и

         (8.13)

Другими словами,  — унарное нечеткое отношение в , названное малый,  — бинарное нечеткое отношение в , названное примерно равны.

Уравнения назначения в этом случае имеют вид

,                                             (8.14)

,                       (8.15)

и, следовательно,

               (8.16)

что можно аппроксимировать следующим образом:

,                (8.17)

если терм более или менее определяется как оператор увеличения нечеткости (см. (3.48)), где

               (8.18)

Заметим, что применение этого оператора к  дает

                        (8.19)

в качестве аппроксимации набора .

Итак, используя композиционное правило вывода, из того, что  и , мы вывели, что

 точно                 (8.20)

и

 - в качестве лингвистического приближения.                     (8.21)

Словами этот приближенный вывод можно записать в виде

                   (8.22)

Основная идея этого схематически описанного метода состоит в следующем. Каждый факт или предпосылка записывается в виде уравнения назначения в отношениях, содержащего одно или большее число ограничений на базовые переменные. Эти уравнения решаются относительно желаемых ограничений при помощи композиции нечетких отношений. Получаемые решения и представляют собой вывод из данного набора предпосылок.