ПРИНЦИП ОБОБЩЕНИЯ

Принцип обобщения для нечетких множеств представляет собой в сущности основное равенство, позволяющее расширить область определения  отображения или отношения, включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества . Более конкретно, предположим, что — отображение , а — нечеткое подмножество вида

.                                                (3.79)

Тогда принцип обобщения утверждает, что

.      (3.80)

Итак, образ множества  при отображении  можно получить, зная образы элементов  при этом отображении.

Пример 3.15. Пусть

,

и пусть  — операция возведения в квадрат. Пусть малый — нечеткое подмножество множества  вида

.              (3.81)

Тогда, учитывая (3.80), имеем

.         (3.82)

Если носитель подмножества  имеет мощность континуума, т. е.

,                                                       (3.83)

то принцип обобщения принимает следующий вид

;              (3.84)

при этом необходимо учитывать, что  — точка множества , а  — степень принадлежности  нечеткому подмножеству  множества .

В некоторых случаях удобно использовать принцип обобщения в другой форме, которая получается из выражения (3.84) путем разложения  не на одноточечные нечеткие множества, а на соответствующие ему множества уровня [см. разложение (3.28)]. Таким образом, написав

,                                                    (3.85)

где  — соответствующее  множество -уровня, получим принцип обобщения в следующей форме:

,                (3.86)

если носитель  — континуум, или

,             (3.87)

если либо носитель множества  — счетное множество, либо множества уровня, соответствующие , образуют счетное семейство.

Замечание 3.16. Принцип обобщения в форме (3.84) позволяет расширить область определения  отображения , включив в нее наряду с точками произвольные нечеткие подмножества множества . Принцип обобщения в форме (3.86) позволяет расширить область определения отображения , включив в нее наряду с обычными (не нечеткими) подмножествами  произвольные нечеткие подмножества . Следует подчеркнуть, что выражения (3.84) и (3.86) эквивалентны, поскольку (3.86) вытекает из (3.84), если перегруппировать члены в разложении множества .

Замечание 3.17. Принцип обобщения аналогичен принципу суперпозиции для линейных систем. Согласно последнему, если  — линейная система  и  — входные сигналы, то откликом системы  на любую линейную комбинацию

,                                                    (3.88)

где  — постоянные коэффициенты, является

.        (3.89)

Существенное различие между (3.89) и (3.80) состоит в том, что в (3.80) знак  обозначает объединение, а не арифметическую сумму, и  не ограничивается только линейными отображениями.

Рис. 3.4. Обобщение таблицы умножения на множества целых чисел;  обозначает 1 или 2.

Замечание 3.18. Следует заметить, что, когда , результат применения принципа обобщения аналогичен результату образования -кратного декартова произведения алгебраической системы  самой на себя. Обобщение таблицы умножения на подмножества чисел показано на рис. 3.4.

Во многих приложениях принципа обобщения возникает следующая проблема. Имеется функция  переменных  и нечеткое множество (отношение)  в , характеризующееся функцией принадлежности , где. Непосредственное применение принципа обобщения (3.84) в этом случае дает

;      (3.90)

однако во многих случаях нам известно не само множество , а его проекции  на соответственно (см. (3.57)). В связи с этим возникает вопрос: какое выражение для следует использовать в (3.90)?

В таких случаях, если особо не оговорено, будем предполагать, что функция принадлежности отношения  имеет вид

,                       (3.91)

где ,  — функция принадлежности отношения . Если учесть равенство (3.45), то (3.91) эквивалентно предположению о том, что  — декартово произведение своих проекций, т. е.

,

откуда в свою очередь следует, что  — наибольшее множество, проекции которого на  суть  соответственно (см. (3.63)).

Пример 3.19. Предположим, что, как и в примере 3.15,

и

,                                  (3.92)

,                                 (3.93)

 арифметическое произведение  и .

Используя (3.91) и применяя принцип обобщения в форме (3.90), имеем

                   (3.94)

Таким образом, арифметическое произведение нечетких чисел примерно 2 и примерно 6 есть нечеткое число, выраженное формулой (3.94).

Вообще пусть символ  обозначает некоторую бинарную операцию, определенную на , со значениями в . Так, если  и , то

Предположим теперь, что  и  — нечеткие подмножества множеств  и  соответственно, причем

и

                                                 (3.95)

Используя принцип обобщения и предполагая, что выполняется равенство (3.91), операцию  можно обобщить на нечеткие подмножества множеств  и , определив отношение

.                   (3.96)

Легко проверить, что в случае, когда ,  и , как в примере 3.19, применение выражения (3.96) приводит к выражению для .

Замечание 3.20. Важно отметить, что применимость (3.96) зависит существенным образом от предположения (3.91), т. е. от того, верно ли равенство

.

Следствием этого равенства является то, что  и  — невзаимодействующие переменные в смысле определения 2.9. Если же существует ограничение на , которое выражается отношением  с функцией принадлежности , то выражение для  имеет вид

  (3.97)

Заметим, что если  — обычное (не нечеткое) отношение, то правая часть (3.97) будет содержать только те члены, которые удовлетворяют ограничению .

Простой иллюстрацией случая, в котором  и  — взаимодействующие переменные, служит выражение

,                                              (3.98)

в котором арифметическое суммирование обозначено знаком , а арифметическое произведение — знаком . Если ,  и  — невзаимодействующие, то мы можем применить принцип обобщения в форме (3.96) для вычисления , где ,  и  — нечеткие подмножества действительной прямой. С другой стороны, если (3.98) переписать в виде

,

то члены  и  — взаимодействующие благодаря наличию в них общего множителя  и, следовательно,

.                                     (3.99)

Из этого факта можно сделать важный вывод о том, что произведение нечетких чисел не дистрибутивно, если оно вычисляется по формуле (3.96). Чтобы получить равенство в (3.99), мы можем применить принцип обобщения в форме (3.96) к левой части (3.99) и должны применить его обязательно в форме (3.97) к правой части (3.99).

Замечание 3.21. Принцип обобщения можно применять не только к функциям, но также и к отношениям, или, что эквивалентно, к предикатам. Мы не будем останавливаться здесь на этом вопросе, так как применение принципа обобщения к отношениям не играет значительной роли в этой работе.