УСРЕДНЕНИЯ ПО НЕЧЕТКИМ МНОЖЕСТВАМ

Отправной точкой предшествующего изложения было предположение о том, что каждому элементу  конечного универсального множества  ставится в соответствие значение  лингвистической вероятности, являющееся компонентой списка значений лингвистических вероятностей .

В данном контексте нечеткое подмножество  множества  играет роль нечеткого события. Пусть  - степень принадлежности  подмножеству. Тогда если  — обычные вероятности , то вероятность  события  определяется как (см. [48]) ( арифметическая сумма)

.                 (7.54)

Естественно обобщить это определение на лингвистические вероятности, определив лингвистическую вероятность события  как

,                 (7.55)

понимая при этом правую часть выражения (7.55) как линейную форму типа (7.27). В связи с выражением (7.55) необходимо отметить, что из ограничения

                                               (7.56)

на рассматриваемые вероятности и того, что

следует, что — нечеткое подмножество интервала  [0, 1].

Пример 7.5. Проиллюстрируем сказанное очень простым примером. Предположим, что

,                                                   (7.57)

,                                         (7.58)

,      (7.59)

,      (7.60)

.          (7.61)

Тогда ( арифметическая сумма)

             (7.62)

при ограничении

.                                            (7.63)

Выбирая такие члены в (7.62), которые удовлетворяют (7.63), получаем

                (7.64)

откуда

.             (7.65)

выражение (7.65) можно грубо аппроксимировать равенством

.             (7.66)

Лингвистическую вероятность нечеткого события, выраженную формулой (7.55), можно рассматривать как частный случай более общего понятия, а именно лингвистического среднего, или, что то же самое, лингвистического математического ожидания функции (определенной на ) по нечеткому подмножеству множества . Более конкретно, пусть — определенная на  функция, принимающая действительные значения; пусть  — нечеткое подмножество множества , и пусть  — лингвистические вероятности, соответствующие . Тогда лингвистическое среднее функции  по обозначается как  и определяется следующим образом ( арифметическая сумма):

.                   (7.67)

Рассмотрим следующий конкретный пример выражения (7.67). Предположим, что люди с именами  выбираются в соответствии с лингвистическими вероятностями, где  - ограничение на . Предположим, что на  накладывается штраф в размере , уменьшенном пропорционально степени принадлежности  классу . Тогда лингвистический средний (ожидаемый) размер штрафа выражается формулой (7.67).

Замечание 7.6. Отметим, что (7.67) по существу является линейной комбинацией вида (7.27), где

.                    (7.68)

аким образом, чтобы вычислить (7.67), можно использовать метод, описанный ранее для вычисления линейных форм в лингвистических вероятностях. В частности, следует отметить, что, когда , правая часть (7.67) имеет вид

.              (7.69)

 сводится к.

Кроме выражения для  выражение (7.67) содержит в себе в качестве частных случаев и выражения для других средних, встречающихся в различных приложениях. Среди них существуют два типа, которые можно рассматривать  как вырожденные формы (7.67) и которые часто встречаются во многих задачах, представляющих практический интерес. Мы кратко остановимся на этих типах средних и для удобства сформулируем их определения в форме ответов на вопросы.

Вопрос 7.7. Каково число элементов в данном нечетком множестве ? Очевидно, этот вопрос поставлен некорректно, поскольку в случае нечеткого множества не существует четкой границы между принадлежностью и непринадлежностью элемента множеству. Тем не менее понятие мощности нечеткого множества [49], определяемое как

,             (7.70)

является естественным обобщением понятия числа элементов .

Для иллюстрации предположим, что  — универсальное множество жителей в городе, а  — нечеткое множество безработных в этом городе. Если интерпретировать  как степень принадлежности человека  классу безработных (например, =0.5, если  занял половину рабочего времени и ищет работу с полным рабочим днем), то  можно интерпретировать как эквивалентное число полностью безработных.

Вопрос 7.8. Предположим, что  — функция, принимающая действительные значения и определенная на . Каково среднее значение  на нечетком подмножестве  множества ?

Будем пользоваться теми же обозначениями, что и в выражении (7.67). Пусть  (обозначает среднее значение функции  на . Если бы  было обычным (не нечетким) множеством, то  выражалось бы формулой

,                      (7.71)

где  обозначает суммирование по тем , которые принадлежат , а  — число этих элементов. Чтобы обобщить (7.71) на нечеткие множества, заметим, что (7.71) можно переписать так:

,                     (7.72)

где  — характеристическая функция множества . Тогда (7.72) можно принять в качестве определения  для нечеткого множества , если интерпретировать  как степень принадлежности  множеству . При этом мы приходим к выражению для, которое можно рассматривать как частный случай выражения (7.67).

Проиллюстрируем (7.72) следующим примером. Предположим, что  — полное множество жителей в городе и — нечеткое подмножество молодых жителей; кроме того, предположим, что — заработок жителя . Тогда средний заработок молодых жителей города выражается формулой (7.72).

Замечание 7.9. Поскольку выражение для  есть линейная форма переменных  мощность нечеткого множества типа 2 (см. определение 3.22) можно легко подсчитать методом, которым мы пользовались ранее для вычисления .

В случае , однако, мы имеем дело с отношением линейных форм, и, следовательно, вычисление  для нечетких множеств типа 2 представляет собой более трудную отдачу.

Целью предыдущего изложения было показать, что понятие лингвистической переменной служит основой для определения вероятностей и в сочетании с принципом обобщения может быть использовано для вычисления линейных комбинаций разных вероятностей. Мы не будем больше останавливаться в этом вопросе и в последующем изложении обратим внимание на основное правило вывода в нечеткой логике.