НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА С НЕЧЕТКИМИ ФУНКЦИЯМИ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Причиной рассмотрения нечетких множеств с нечеткими функциями принадлежности служит близкая связь, которая существует между понятием лингвистической истинности с такими значениями, как истинно, вполне истинно, очень истинно, более или менее истинно и т. п., с одной стороны, и нечеткими множествами, степень принадлежности которым описывается такими лингвистическими терминами, как низкий, средний, высокий, очень низкий, не низкий и не высокий и т. п. — с другой.

Итак, предположим, что  — нечеткое подмножество универсального множества , а значениями функции принадлежности могут быть нечеткие подмножества интервала. Чтобы отличить такие нечеткие множества от нечетких подмножеств, рассмотренных ранее, будем называть их нечеткими множествами типа , а нечеткие множества, функции принадлежности которым являются отображениями , — нечеткими множествами типа . Введем более общее

Определение 3.22. Нечеткое множество есть множество типа  если значениями его функции принадлежности являются нечеткие множества типа . Функция принадлежности нечеткого множества типа  принимает значения из интервала .

Чтобы определить такие операции, как дополнение, объединение, пересечение и т. п. для нечетких множеств типа , естественно использовать принцип обобщения. Удобно, однако, выполнить это в два этапа: сначала обобщить соответствующие определения для множеств типа  на нечеткие множества с функциями принадлежности, значениями которых являются интервалы, а затем, используя принцип обобщения в форме множеств уровня (3.86), перейти от интервалов к нечетким множествам.

Ниже этот метод иллюстрируется на примере обобщения на нечеткие множества типа  понятия пересечения, которое определено выше (см. (3.35)) для нечетких множеств типа .

Отправной точкой является выражение для функции принадлежности пересечения  и , где  и  — нечеткие подмножества типа   множества ,

.

Если  и  — интервалы в , а не точки в , т. е. если для фиксированного

где , , ,  зависят от , то, применив принцип обобщения (3.86) к функции , получаем

.               (3.100)

Таким образом, если значения функций принадлежности подмножеств  и — интервалы в , как показано на рис. 3.5, то пересечение этих множеств описывается функцией принадлежности, значения которой (интервалы) для каждого  даются формулой (3.100)

Рис. 3.5. Пересечение нечетких множеств, значениями функций принадлежности которых являются интервалы.

Рис. 3.6 Множества уровня нечетких функций принадлежности  и  .

предполагать, что для каждого  множества -уровня нечетких подмножеств  и  описываются функциями принадлежности , , значениями которых являются интервалы (см. рис. 3.6).

Применяя принцип обобщения в форме (3.86) к множествам -уровня нечетких подмножеств  и , придем к следующему определению пересечения нечетких множеств типа .

Определение 3.23. Пусть  и  — нечеткие подмножества типа  множества , такие, что для каждого  множества  и  — выпуклые нечеткие подмножества типа  интервала , т. е. для каждого  множества -уровня нечетких функций принадлежности  и  описываются функциями принадлежности  и  значения которых суть интервалы.

Обозначим множество -уровня нечеткой функции принадлежности пересечения  и  через , причем множества -уровня  и  определяются для каждого следующим образом:

,                                                          (3.101)

,                                                          (3.102)

где  обозначает степень принадлежности точки  нечеткому множеству . Тогда для каждого

.                                                                (3.103)

Другими словами, множество -уровня нечеткой функции принадлежности пересечения  и  есть минимум (в смысле определения (3.100)) множеств -уровня нечетких функций принадлежности подмножеств  и . Используя разложение (3.28),  можно выразить в виде

.                                                       (3.104)

Рассмотрим случай, когда носители нечетких множеств ,  — конечные множества, т. е.,  и  представимы в виде

                     (3.105)

и

.                 (3.106)

Здесь  и  — степени принадлежности  и  множествам  и  соответственно. Применяя принцип обобщения в форме (3.96) к операции , получим требуемое выражение для :

.  (3.107)

Пример 3.24. Проиллюстрируем равенство (3.104), предположив, что в точке  степени принадлежности  множествам  и  обозначаются как высокий и средний соответственно, причем термины высокий и средний определяются как нечеткие подмножества множества  выражениями:

                                     (3.108)

                                  (3.109)

Множества уровня нечетких подмножеств высокий и средний выражаются следующим образом:

и, следовательно, множества -уровня пересечения  имеют вид

                            (3.110)

                              (3.111)

и

                                    (3.112)

Комбинируя (3.110), (3.111) и (3.112), получаем выражение для нечеткого множества, описывающего степень принадлежности точки пересечению подмножеств  и :

,               (3.13)

что эквивалентно утверждению

.                                         (3.114)

Этот же результат можно получить более коротким способом, используя равенство (3.107):

         (3.115)

Аналогичным образом можно обобщить на случай нечетких множеств типа  операции дополнения, объединения, концентрирования и т. п. Это сделано в § 6 при обсуждении нечеткой логики, в которой значения истинности являются лингвистическими по своей природе.

Замечание 3.25. Результаты, полученные в примере 3.24, можно рассматривать как частный случай общего вывода, который можно получить из (3.100), об обобщении неравенства  на случай нечетких подмножеств числовой оси. В частности, в случае действительных чисел  и  имеем

.                                                    (3.116)

На основе этой эквивалентности, учитывая выражение (3.100), получаем для интервалов:

.                       (3.117)

Отсюда в свою очередь следует

Определение 3.26. Пусть  и  — выпуклые нечеткие подмножества числовой оси, и пусть и  — множества -уровня этих подмножеств соответственно. Тогда обобщение неравенства  на выпуклые нечеткие подмножества действительных чисел выражается в виде

                                                        (3.118)

,                                             (3.119)

где множество  определяется согласно (3.100).

В случае, рассмотренном в примере 3.24, легко проверить, что

                                  (3.120)

в смысле (3.119), откуда мы сразу приходим к выражению

,

которое полностью согласуется с (3.114).