МАРГИНАЛЬНЫЕ И УСЛОВНЫЕ ОГРАНИЧЕНИЯ

В § 2 понятия маргинального и условного ограничений были специально определены таким образом, чтобы их можно было легко обобщить на случай нечетких ограничений. Благодаря этому в более общем случае нечетких переменных эти понятия можно сформулировать почти так же, как это было сделано в § 2.

Замечание 4.7. Как мы уже видели в наших прежних обсуждениях понятий маргинального и условного ограничений, в целях упрощения удобно пользоваться следующими обозначениями.

Пусть

                                                (4.11)

— упорядоченная подпоследовательность последовательности индексов . Например,   при . Упорядоченное дополнение подпоследовательности  обозначается через

.                                            (4.12)

Например, для  имеем .

Набор  переменных  обозначается через :

                                        (4.13)

и аналогично

                                      (4.14)

Например, если

,

то

.

Если , то будем писать просто

.                                             (4.15)

В дальнейшем эти обозначения применяются без специальных пояснений.

Определение 4.8. -арное ограничение  в  индуцирует -арное маргинальное ограничение , которое определяется как проекция (тень)  на . Используя определение проекции (см. (3.57)) и применяя обозначения, введенные в замечании 4.7, функцию принадлежности маргинального ограничения  можно записать в виде

               (4.16)

Пример 4.9. Для нечеткой бинарной переменной, определенной в примере 4.5, получаем

Пример 4.10. Предположим, что

и  — тернарное нечеткое отношение в  вида

          (4.17)

Применяя (4.16) к (4.17), получаем

                              (4.18)

и

                                                          (4.19)

Определение 4.11. Пусть  — ограничение на , и пусть  – некоторые значения переменных  соответственно. Если в функции принадлежности ограничения  значения переменных  положить равными , то результирующая функция аргументов , где последовательность индексов  является дополнением последовательности , определяется как функция принадлежности условного ограничения, или сокращенно.

Таким образом,

или сокращенно

.                        (4.20)

Простота связи между условным и безусловным ограничениями становится более ясной, если  записывать без верхнего индекса. При этом выражение (4.20) примет вид

или сокращенно

.                                          (4.21)

Замечание 4.12. В некоторых случаях предпочтительно использовать другое обозначение для условных ограничений. Например, если ,  и , то может оказаться проще писать  вместо . Это особенно существенно, когда в качестве аргументов с верхними индексами используются числовые значения, например  и  вместо  и . В таких случаях, для того чтобы избежать разночтений, приходится писать более подробно:

, или проще .

Пример 4.13. В примере 4.10 имеем

          (4.22)

а, используя (4.16),

                                                   (4.23)

Полезно отметить, что из определений маргинального и условного ограничений немедленно вытекает

Предложение 4.14. Пусть  — маргинальное ограничение, индуцированное ограничением  и пусть  или, более просто  — условное ограничение при фиксированных , где  и  — взаимно дополнительные последовательности индексов. Тогда из (4.16), (4.21) и из определения объединения (см. (3.34)) следует, что

,

где символ  обозначает объединение (а не арифметическую сумму) по значениям.

Пример 4.15. Принимая во внимание примеры 4.9 и 4.12, легко проверить, что

и

.