177. Тригонометрические и гиперболические функции.
До сих пор мы рассматривали тригонометрические функции лишь в случае вещественного аргумента. Определим тригонометрические функции при любом комплексном аргументе z по формулам Эйлера:
причем выражения, стоящие справа, при любом комплексном z имеют смысл, указанный в [176]. Пользуясь этими формулами и основными свойствами показательной функции, нетрудно проверить справедливасть формул тригонометрии в случае комплексного аргумента.
Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать, например, соотношения
Функцни 
определяются по формулам
Введем теперь гиперболические функции. Гиперболические синус и косинус определяются по формулам
Пользуясь этими формулами, нетрудно проверить, например, следующие соотношения:
Таким образом возникает гиперболическая тригонометрия с формулами, аналогичными формулам обычной тригонометрии круга. Заменяя в формуле обычной тригонометрии 
на 
на 
, получим аналогичную формулу гиперболической тригонометрии. Это обстоятельство вытекает непосредственно из формул, определяющих гиперболические функции,
Пользуясь этим указанием, нетрудно получить следующие формулы приведения суммы гиперболических функций к логарифмическому виду:
Рассмотрим теперь гиперболические функции при вещественных значениях аргумента:
Рис. 171.
График функции 
представляет собой цепную линию [78], к более подробному изучению которой мы перейдем в [178]. Графики функций 
изображены на рис. 171.
Непосредственно дифференцируя, получаем следующие выражения производных:
Отсюда получаем таблицу интегралов:
Самое название „гиперболические функциив произошло вследствие того, что функции 
играют ту же роль для параметрического представления равнобочной гиперболы
какую функции 
для окружности
Параметрическое представление окружности есть
равнобочной же гиперболы
как в этом нетрудно убедиться при помощи соотношения
Геометрическое значение параметра t в обоих случаях, окружности и гиперболы, также одинаково.
Рис. 172.
Рис. 173.
Если мы обозначим через S площадь сектора АОМ (рис. 172), а через 
площадь всего круга 
, то, очевидно,
Пусть теперь 
обозначает площадь аналогичного сектора равнобочной гиперболы (рис. 173). Мы имеем
Вычисляя интеграл по формуле из [92], находим:
Если теперь, обозначая опять через 
площадь круга, положим
то найдем без труда
откуда, складывая почленно и умножая на у:
т. е. мы и получаем параметрическое представление равнобочной гиперболы.
