§ 3. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Прежде чем перейти к варьированию действия по координатам частицы, преобразуем выражение для к более удобному виду.

Воспользуемся явным выражением для тока Подставляя (2.1.13) в (2.2.6) и выполняя интегрирование по мы получаем

При нахождении уравнения движения мы варьируем координаты частицы, при этом электромагнитное поле считается заданным. Поэтому членом в выражении для действия (2.2.1) можно пренебречь, и мы имеем

В формуле (2.3.2) интегрирование ведется вдоль мировой линии частицы между двумя фиксированными мировыми точками.

Вариация действия (2.3.2) имеет вид

Далее, поскольку

где четырехмерная скорость частицы.

Воспользовавшись этим соотношением и переставляя операции взятия вариации и дифференцирования, проинтегрируем по частям первые два члена в (2.3.3). Получим

На границе области интегрирования поэтому внеинтегральный член в (2.3.4) обращается в нуль.

Преобразуем подынтегральное выражение, воспользовавшись соотношениями

В результате выражение для вариации действия приобретает вид

В соответствии с принципом наименьшего действия мы должны потребовать обращения в нуль вариации (2.3.5). В силу произвольности это приводит к следующему уравнению (индекс а отброшен):

Полученное уравнение представляет собой уравнение движения частицы в явно релятивистски инвариантном виде. По сути дела, оно объединяет в себе четыре уравнения, соответствующие четырем возможным значениям свободного индекса -Эти уравнения не являются независимыми, одно из них является следствием трех оставшихся. Это можно обнаружить, если свернуть обе части равенства (2.3.6) с вектором четырехмерной скорости При этом левая сторона обратится в нуль в силу ортогональности -векторов а правая — ввиду антисимметричности тензора поля

Мы можем придать уравнению движения вид, наиболее близкий к ньютоновской теории. Для этого перейдем в (2.3.6)

к дифференцированию по лабораторному времени с помощью соотношения

и воспользуемся стандартными обозначениями для релятивистских энергии и импульса:

Мы получаем, что уравнение (2.3.6) эквивалентно следующим четырем уравнениям:

Первое из полученных уравнений является собственно уравнением движения. Стоящее в правой части этого равенства выражение по определению представляет собой силу, действующую на заряженную частицу во внешнем электромагнитном поле. Оно совпадает с известным из опыта выражением для силы Лоренца. Второе уравнение описывает изменение со временем кинетической энергии частицы, оно определяется работой сил электрического поля. Магнитное поле работы не производит, так как магнитная сила всегда ортогональна скорости частицы.

Как уже отмечено, уравнения (2.3.7) не являются независимыми. Действительно, умножая обе части уравнения движения (2.3.7) скалярно на и воспользовавшись равенством

мы убеждаемся, что уравнение, определяющее изменение кинетической энергии, есть следствие уравнений движения.

В заключение этого параграфа рассмотрим простейшие случаи применения уравнений (2.3.6), (2.3.7) для нахождения закона движения частицы во внешнем поле.

а) Гиперболическое движение

Рассмотрим движение заряда в постоянном однородном электрическом поле. Предположим, что в начальный момент времени частица покоилась, и примем направление поля за положительное направление оси

В рассматриваемом случае уравнение движения (2.3.6) сводится к системе двух линейных дифференциальных уравнений:

Выберем начало отсчета собственноро времени так, чтобы соответствовало моменту лабораторного времени. При этом начальные условия принимают вид

Выпишем в явном виде квадрат 4-импульса частицы

Из этого равенства следует, что решение системы уравнений (2.3.8) следует искать в виде

причем функция должна удовлетворять начальному условию

Подставляя (2.3.10) в (2.3.8), мы получим

Решение этого уравнения с учетом начального условия (2.3.11) имеет вид

Таким образом, для ненулевых компонент -импульса мы получаем следующие выражения:

Повторное интегрирование этих уравнений дает

Для простоты мы выбрали начальные условия таким образом, чтобы в начальный момент времени частица находилась в точке с координатой

Из полученных результатов следует очевидное равенство

Оно позволяет найти зависимость координаты частицы от лабораторного времени:

Дифференцируя это равенство, получаем зависимость скорости частицы от времени:

Мы видим, что, если время, прошедшее с момента начала: движения, мало по сравнению с характером времени перемещение частицы пропорционально и закон движения такой же, как в нерелятивистской теории. При больших временах асимптотически приближается к линейной функции, а скорость — к скорости света.

Вычислим ускорение частицы в сопутствующей системе отсчета. Поскольку частица совершает движение вдоль поля, переход в сопутствующую, систему отсчета не приведет к изменению (см. § 1). Это значит, что ускорение в сопутствующей системе совпадает с ускорением в исходной системе отсчета, вычисленным в момент времени когда частица покоилась. При поэтому из (2.3.8) мы получаем для ускорения

Таким образом, рассмотренное движение характеризуется постоянным ускорением в сопутствующей системе отсчета. Такое движение носит название релятивистского равноускоренного движения.

б) Движение в постоянном однородном магнитном поле

Движение заряда в постоянном однородном магнитном поле описывается системой уравнений

В этом случае уравнение, описывающее изменение со временем кинетической энергии частицы, имеет особенно простой вид.

Оно говорит о том, что действие магнитного поля сводится к изменению направления движения заряда и не сопровождается совершением работы.

Переходя к интегрированию системы (2.3.15), вспомним, что из определения релятивистских энергии и импульса следует соотношение

где трехмерная скорость частицы.

Подставляя (2.3.17) в (2.3.15) и учитывая уравнение мы получаем

Выбираем декартову систему координат с осью направленной вдоль вектора получим систему уравнений

где циклотронная частота.

Последнее уравнение говорит о том, что проекция скорости на направление магнитного поля постоянна и

Чтобы найти зависимость от времени двух других координат частицы, умножим второе из уравнений (2.3.19) на и сложим с первым, получим

откуда

Из этого равенства следует, что модуль постоянной интегрирования С совпадает с абсолютной величиной скорости частицы в плоскости, перпендикулярной полю:

Записывая комплексную постоянную С в виде

и отделяя в (2.3.21) вещественную и мнимую части, получаем

Постоянная а является начальной фазой и вместе с определяется из начальных условий.

Интегрируя (2.3.22) еще раз, находим зависимость от времени координат частицы

где

Из (2.3.20) и (2.3.23) следует, что в постоянном однородном магнитном поле заряд движется по винтовой линии с постоянной скоростью вдоль направления поля и с радиусом в плоскости, перпендикулярной полю.