§ 2. НЕАБЕЛЕВА КАЛИБРОВОЧНАЯ ГРУППА

Электромагнитное поле возникает в результате требования локальной симметрии Рассмотрим теперь, следуя Янгу и Миллсу, локальное обобщение группы трехмерных вращений или, в более широком смысле, любой неабелевой -параметри-ческой группы Ли. В таком случае поле материи, например скалярное поле, осуществляющее представление такой группы, должно преобразовываться по закону

где -оператор конечных преобразований группы. Вводя эрмитовы генераторы группы согласно общей теории групп Ли, можем записать

— зависящие от координат, т. е. локальные, параметры группы. Генераторы образуют алгебру Ли с коммутационными соотношениями

где структурные константы группы. Унитарность преобразований, обеспечивает инвариантность квадратичных комбинаций полей вида Требование распространить эту инвариантность на комбинации, содержащие производные лолей, так же как и в электродинамике (3.1.9), приводит к необходимости ввести калибровочные поля удлиняя производную следующим образом:

где некоторая константа, определяющая, как и электрический заряд, величину взаимодействия полей (см. ниже). Если само калибровочное поле удовлетворяет следующему правилу преобразования:

то

где

т. е. правило преобразования (3.2.1) сохраняется и для

удлиненных производных. Рассмотрим инфинитезимальные преобразования

Тогда из (3.2.5) получим

Разложим поле по генераторам группы:

Получим для компонент поля

Как видно, в отличие от абелевой группы (3.1.1) кроме градиентного члена в неабелевом случае появляется член, описывающий повороты (второе слагаемое). Таким образом, вариацию поля можно коротко записать в виде

где

По аналогии с электродинамикой введем тензор напряженностей поля

Тогда с учетом правил преобразования (3.2.5), (3.2.6) получим

Продемонстрировать справедливость последнего правила преобразования непосредственным вычислением предоставляем читателям.

Рассмотрим группу трехмерных вращений в групповом пространстве Структурными константами группы, как и в случае пространственных поворотов в обычном пространстве, будут составляющие абсолютно антисимметричного единичного тензора

Тензор поля может быть записан в виде

Инфинитезимальные преобразования потенциалов

содержат как малый поворот, так и градиентный член, а в случае тензора поля

— только поворот. Таким образом, тензор поля является вектором группового пространства, удовлетворяющим обычным вилам преобразований — глобальных поворотов. Поэтому его длина есть инвариант группы, т. е.

— как лоренцовский, так и калибровочный инвариант. Заметим, что и Миллс рассматривали именно калибровочную группу трехмерных вращений. Поэтому соответствующие поля носят название полей Янга — Миллса, хотя часто это название применяют и для полей, отвечающих произвольной калибровочной группе. Обобщая электродинамику, можем, имея в виду (3.2.17), записать лагранжиан полей Янга - Миллса

Найдем уравнения поля Янга — Миллса

В результате имеем

или в краткой записи

Введем в систему также и скалярное поле массы принадлежащее присоединенному представлению группы: т. е. тому же представлению, что и поле Тогда с учетом необходимости удлинить производные находим лагранжиан модели

где

Этот лагранжиан является очевидным обобщением лагранжиана скалярной электродинамики на неабелев случай. Заметим, что в качестве калибровочной группы используется обычно» унитарная унимодулярная группа фундаментальное представление которой действует в комплексном пространстве размерности Операторы группы унитарны, и унимодулярны. Последнее означает, что определитель оператора

Отсюда находим в случае инфинитезимальных преобразований

-матрицы генераторов должны быть бесследовыми. В случае т. е. группы это матрицы Паули стандартное представление которых имеет вид

Операторы благодаря своему фундаментальному свойству

образуют алгебру Ли группы

Как видно, коммутационные соотношения для генераторов группы совпадают с алгеброй генераторов группы при этом группа осуществляет двузначное представление группы трехмерных вращений. В случае получаем группу Генераторы ее связаны с матрицами Гелл — Манна

Три степени свободы фундаментального представления в квантовой хромодинамике называют «цветом» («красный», «голубой», «зеленый»). Этими цветами наделяют кварки — элементарные объекты, из которых состоят нуклоны. Сама квантовая хромодинамика или динамика цвета, представляет собой фундаментальную теорию сильного взаимодействия, сдерживающего составляющие нуклонов в виде единого целого. простейшем случае скалярных кварков лагранжиан имеет вид (3.2.21) с калибровочным полем (так называемым глюонным полем), принадлежащим присоединенному представлению цветовой калибровочной группы размерности 8. Реальные кварки имеют собственный момент — спин и принадлежат фундаментальному представлению группы пространственных преобразований