§ 10. ФУНКЦИИ ГРИНА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Типичной задачей классической электродинамики является задача нахождения электромагнитного поля в заданном объеме по известному распределению зарядов и токов внутри объема и при определенных условиях на его границе. Следует подчеркнуть, что в такой постановке задача является приближенной, так как Поле, создаваемое движущейся частицей, влияет

на характер ее движения (на этом вопросе мы остановимся подробнее в § 13). Учет обратного влияния, или, как говорят, самодействия, приводит к тому, что сам ток оказывается функционально зависящим от поля. В итоге уравнения поля и уравнение движения частицы становятся нелинейными. Однако в целом ряде ситуаций обратным влиянием собственного поля частицы на ее движение можно пренебречь. В этом случае распределение токов определяется из решения уравнений движения заряженных частиц системы в заданном внешнем поле, и мы приходим к сформулированной в начале параграфа задаче.

Рассмотрим решение уравнения Даламбера с заданной правой частью:

Пусть токи отличны от нуля в ограниченной пространственной области и границы отсутствуют, т. е. решение ищется во всем безграничном пространстве.

Решение уравнения (2.10.1) удобно анализировать с помощью соответствующей функции Грина которая определяется как решение волнового уравнения с -образным источником:

Как мы увидим ниже, функция Грина волнового уравнения не определена однозначно. Это связано с возможностью наложения различных граничных условий, обеспечивающих единственность решения уравнения (2.10.1). В том случае, когда подходящая функция Грина найдена, решение уравнения (2.10.1) может быть записано в виде интеграла

Применяя к обеим частям равенства (2.10.3) оператор Даламбера, используя (2.10.2) и определение -функции, мы убеждаемся, что выражение (2.10.3) действительно удовлетворяет уравнению (2.10.1).

Перейдем к исследованию различных решений уравнения (2.10.2). С помощью преобразования Фурье, мы можем получить для функции Грина следующее формальное представление:

Воспользуемся тем, что Фурье-образ -функции есть единица, т. е. справедливо равенство

Тогда, подставляя (2.10.4) и (2.10.5) в (2.10.2), выполняя

Рис. 2.1. Контуры в комплексной плоскости переменной для интегрального представления функций

дифференцирование и приравнивая подынтегральные выражения, мы получим

Решение (2.10.6) является чисто формальным, поскольку после подстановки (2.10.6) в (2.10.4) остается неопределенным правило обхода полюсов которое следует определять из граничных условий.

Если рассматривается электромагнитное поле, создаваемое током в безграничном пространстве, и других источников нет, то для выделения единственного решения, адекватного поставленной задаче, можно привлечь принцип причинности. Принцип причинности требует, чтобы изменение поля в точке наблюдения отставало от изменения в характере движения зарядов, которое его вызвало. Отсюда и из (2.10.3) следует, что в этом случае функция должна удовлетворять условию

Соответствующая функция Грина носит название запаздывающей, мы будем ее обозначать

Покажем, что условие (2.10.7) действительно определяет функцию Грина однозначно, и получим для нее явное выражение.

Заметим, что условие (2.10.7) соответствует обходу сверху полюсов в комплексной плоскости переменной как это показано на рис. 2.1.

Действительно, при контур интегрирования может быть замкнут в верхней полуплоскости переменной а при в нижней. В первом случае полюса подынтегральной функции не попадают внутрь контура интегрирования, и интеграл равен нулю. Во втором — он может быть вычислен с помощью теории вычетов. В результате мы получим

Переходя к сферической системе координат в -пространстве с осью направленной вдоль вектора и интегрируя

по угловым переменным вектора к, мы приходим к следующему выражению:

Воспользовавшись (2.10.5) и тем, что при мы получаем окончательное выражение для запаздывающей функции Грина

С физической точки зрения решение (2.10.10) представляет собой бесконечно узкую сферическую расходящуюся волну, вызванную локализованным в точке источником, который действовал мгновенно в момент времени Оно автоматически удовлетворяет условию запаздывания (2.10.7) и определяется этим условием однозначно.

Если воспользоваться формулой

то решение (2.10.10) можно записать в другой эквивалентной форме:

В (2.10.12) через обозначена функция Хевисайда. Она определяется следующим образом:

Запаздывающая функция Грина в форме (2.10.12) обладает явной релятивистской инвариантностью. Это обеспечивается тем, что знак разности не меняется при ортохронных преобразованиях Лоренца, и тем, что функция является скаляром.

Если вернуться к интегральному представлению (2.10.4), (2.10.6), то те же результаты могут быть получены, если интегрирование по вести вдоль действительной оси, а полюса сместить в нижнюю полуплоскость комплексной переменной на бесконечно малую величину, что осуществляется заменой в подынтегральном выражении. Это позволяет получить еще одно представление запаздывающей функции Грина, которое часто встречается в литературе:

При исследовании различных решений уравнения мы сталкиваемся с целым рядом функций, которые хотя и не представляют такого интереса для классической электродинамики, как запаздывающее решение но Щироко используются в других разделах теоретической физики, в частности в квантовой теории поля. Рассмотрим некоторые из этих функций.

Прежде всего введем опережающую функцию Грина -Она определяется требованием

Нетрудно проверить, что условие опережения (2.10.15) удовлетворяется при обходе полюсов в комплексной плоскости переменной снизу (см. рис. 2.1). При этом в координатном представлении опережающая функция имеет вид сходящейся бесконечно тонкой сферической волны:

а вместо (2.10.12) мы получим следующее выражение:

Можно получить для и интегральное представление, аналогичное (2.10.14), оно будет отличаться только знаком

Рассмотрим еще две функции, которые являются линейными комбинациями запаздывающей и опережающей функций Грина:

При этом может быть представлена в виде

Мы видим, что функция так же как и является решением неоднородного уравнения (2.10.2), в то время, как удовлетворяет однородному уравнению Даламбера и потоку, собственно говоря, не является функцией Грина. Эта функция называется перестановочной функцией Паули — Иордана. Она естественным образом возникает в квантовой теории поля, однако, как мы увидим ниже, играет важную роль и в классической электродинамике.

Получим интегральные представления для Воспользуемся известной из теории функций комплексной переменной формулой

Это равенство совместно с формулами (2.10.14) и (2.10.18) позволяет представить Фурье-образы запаздывающей и опережающей функций Грина в следующем виде:

где — знаковая функция:

Из этих формул и из определений (2.10.19) получаем

Обратим внимание на то, что поскольку знак инвариантен относительно ортохрсмных преобразований Лоренца, то, как это видно из (2.10.22), формула (2.10.20) осуществляет лоренцинвариантное разбиение запаздывающего решения уравнения (2.10.1) на два существенно различных слагаемых. Вклад, обусловленный является решением однородного волнового уравнения и представляет собой оторвавшееся от источника поле (электромагнитную волну), в то время как позволяет выделить в запаздывающем решении ту его часть, которая представляет собой преобразованное по Лоренцу кулоновское поле частицы и не дает вклада в излучение.

Впервые такое разбиение запаздывающего решения было осуществлено Швингером, оно позволило выделить поле излучения без традиционного перехода в волновую зону.

Контуры, по которым следует производить интегрирование в комплексной плоскости переменной для получения функцией показаны на рис. 2.1.

В приложениях для анализа спектрального состава излучения весьма полезными являются Фурье-образы по времени запаздывающей и опережающей функций:

Для этих функций из (2.10.4), (2.10.14) и (2.10.18) немедленно следует следующее интегральное представление:

Функции (2.10.24) являются решениями уравнения

где через обозначен оператор

Рассмотрим запаздывающую функцию Грина. Покажем, что для нее существует интегральное представление, аналогичное широко используемому в квантовой теории поля представлению Фока — Швингера — Девитта для фейнмановской функции Грина.

Прежде всего заметим, что уравнение (2.10.25) имеет следующее формальное решение:

Аналогичное выражение для опережающей функции Грина получается из (2.10.27) путем изменения знака

Мы видим, что нахождение запаздывающей функции сводится к нахождению функции

Дифференцируя (2.10.28) по мы находим, что является решением дифференциального уравнения

и удовлетворяет начальному условию

Уравнение (2.10.29) по виду совпадает с хорошо известным в квантовой теории уравнением Шредингера. Оно описывает эволюцию во времени волновой функции некоторой фиктивной частицы с гамильтонианом

В рассматриваемом случае плоского пустого пространства уравнение (2.10.28) может быть решено точно. Его решение, удовлетворяющее начальному условию (2.10.30), имеет вид

Интересно, что аналогичное (2.10.27) представление имеет место в целом ряде значительно более сложных случаев. В частности, в случае неоднородной среды, обладающей временной дисперсией, и даже для искривленного пространства-времени. При этом мы вновь получаем уравнение (2.10.29), однако входящий в него оператор будет иметь значительно более сложную структуру.