§ 5. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ И КРИВИЗНА

В линеаризованной теории гравитации из вторых производных поля можно было построить калибровочно-инвариантную комбинацию (4.2.2). Теперь гравитационное поле «спрятано» в метрике пространства-времени, и возникает вопрос: какому объекту соответствует эта комбинация на геометрическом языке искривленного пространства событий? Нетрудно понять, что калибровочная инвариантность искомого объекта означает, что этот объект должен иметь тензорный закон преобразования в многообразии, т. е. быть тензором или тензорной плотностью, составленной из производных метрического тензора (в противном случае выбором системы координат его можно было бы

обратить в нуль в наперед заданной точке). Такой тензор должен исчезать в отсутствие «истинного» гравитационного поля, когда рйманов характер пространства событий обусловлен выбором неинерциальных систем отсчета. С другой стороны, необходимо построить такой тензор, который нельзя было бы обратить в нуль в присутствии гравитационного поля никаким преобразованием координат. Поскольку выбором системы отсчета можно локально уничтожить гравитационную «силу» (т. е. символы Кристоффеля), ясно, что для построения объекта с требуемыми свойствами следует рассмотреть движение не одной, а двух близких частиц. Выбирая систему отсчета таким образом, чтобы сила, действующая на одну из них обратилась бы в нуль, будем следить за движением второй частицы. Относительное движение, - или, как говорят, отклонение геодезических, может служить критерием присутствия гравитационного поля.

Итак, рассмотрим семейство геодезических «помечаемых» параметром а, выбирая в качестве параметра вдоль каждой из них интервал риманова пространства событий Тогда вектор будет касательным к геодезическим, а. вектор будет мерой относительного смещения геодезических. Вычислим соответствующее «ускорение» В силу уравнения геодезических (4.4.14) абсолютная производная вектора по равна нулю при всех а. Образуем теперь абсолютные производные

и

Учитывая симметрию символов Кристоффеля, а также коммутативность частных производных, получим соотношение

Воспользовавшись им, для искомой величины относительного ускорения находим

Далее, в силу уравнения геодезических

откуда находим

Подставляя (4.5.6) в (4.5.4), приходим к выражению

где символом обозначена следующая комбинация из символов Кристоффеля и их производных:

Согласно построению левая часть (4.5.7) есть вектор, векторами являются также в правой части. Отсюда следует, что четырехиндексный объект представляет собой тензор. Это есть тензор кривизны Римана — Кристоффеля искривленного пространства событий.

Рассмотрим теперь локально лоренцеву систему координат в окрестности некоторой точки в которой символы Кристоффеля обращаются в нуль. Опустив первый индекс у тензора кривизяы, в этой системе координат будем иметь

Сравнивая с выражением (4.2.2) с учетом (4.4.1), находим, что в локально лоренцевой системе

Поскольку есть тензор, ясно, что именно он и представляет собой искомое обобщение калибровочно-инвариантной комбинации (4.4.2).

Альтернативная интерпретация тензора Римана — Кристоффеля основана на рассмотрении параллельного переноса вектора вдоль замкнутого пути. Математически это сводится (в случае бесконечно малого обхода) к вычислению разности вторых ковариантных производных переносимого вектора. Повторение вычислений, аналогичных проделанным выше, приводит к результату

Таким образом, ковариантные производные от вектора коммутируют тогда и только тогда, когда кривизна равна нулю. Предоставляем читателю убедиться в том, что разность вторых ковариантных производных от скаляра равна нулю, а также вычислить соответствующую разность при действии на ковектор и тензоры высших рангов. Из формулы (4.5.9) можно вывести

следующие свойства симметрии тензора Римана — Кристоффеля:

т. е. он симметричен относительно перестановки первой и второй пар индексов и антисимметричен относительно перестановки индексов внутри каждой из пар. Поскольку антисимметричный двухиндексный тензор в четырехмерном пространстве имеет шесть независимых компонент, тензор кривизны имеет столько же независимых компонент, что и симметричный тензор второго ранга в шестимёрном пространстве. Это число равно 21. Однако фактически не все они независимы: более внимательное рассмотрение показывает, что существует еще одно соотношение (циклическое тождество)

уменьшающее число независимых компонент тензора Римана до 20. Можно показать, что в общем случае пространства измерений это число есть

Вычислим ковариантную производную тензора кривизны, воспользовавшись локально лоренцевой системой координат:

Проведя антисимметризацию по трем последним индексам, получаем тождество Бианки

В силу соотношений симметрии (4.5.12) ряд тождеств Бианки выполняется тривиально. Подсчет показывает, что число нетривиальных дифференциальных соотношений в системе уравнений (4.5.15) равно 20.

Свертка тензора Римана — Кристоффеля по первым индексам каждой из пар дает симметричный тензор второго ранга— тензор Риччи

который, очевидно, имеет десять независимых компонент. Свертывание тензора Риччи дает скалярную кривизну

Тензор Римана — Кристоффеля можно теперь представить в виде разложения на «бесследовую» часть называемую тензором Вейля, и члены, пропорциональные тензору Риччи и скалярной кривизне:

Но построению тензор Вейля обладает всеми свойствами симметрии тензора Римана — Кристоффеля. Он также имеет важное свойство конформной инвариантности в форме с одним контравариантным и тремя ковариантными индексами. Под этим понимается совпадение тензоров Вейля двух римановых пространств, метрики которых связаны конформным соотношением

- некоторая скалярная функция). Тензор кривизны, а также тензор Риччи этим свойством не обладают. Читателю предлагается в качестве упражнения получить соответствующйе законы преобразования.

Свертывание по индексам тождества Бианки (4.5.15) для тензора кривизны позволяет получить тождества Бианки для тензора Риччи, которые можно записать в виде

Здесь введен симметричный тензор второго ранга

называемый тензором Эйнштейна, который играет основную роль в формулировке динамики гравитационного поля. Выясним, что является его аналогом в линеаризованной теории. Подставляя метрический тензор, в виде (4.4.1) в выражение (4.4.15). для символов Кристоффеля, в линейном порядке находим

Подставляя это выражение в (4.5.8) и далее вычисляя тензор Риччи и тензор Эйнштейна, можно убедиться в том, что линейная по часть совпадает (с точностью до и) с левой частью уравнений тензорного поля (4.2.6) в пространстве Минковского, а тождества Бианки (4.5.20) в линейном порядке по переходят в тождества Бианки (4.2.9) линеаризованной теории. Это открывает очевидный путь обобщения линеаризованных уравнений гравитации, с тем чтобы получить калибровочно-инвариантное (т. е. в терминах тензоров риманова пространства-времени) описание полной нелинейной динамики гравитационного поля.