§ 8. ПОСТОЯННОЕ МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Система уравнений, которым удовлетворяет постоянное магнитное поле имеет вид

Как и в общем случае, второе уравнение системы позволяет представить в виде ротора некоторого нового векторного поля — векторного потенциала:

Подставляя (2.8.2) в первое уравнение (2.8.1), мы получаем

В магнитостатике калибровочная инвариантность электродинамики выражается в инвариантности напряженности магнитного поля относительно градиентных преобразований потенциала:

Имеющийся произвол в выборе векторного потенциала позволяет подходящим градиентным преобразованием обратить в нуль, его дивергенцию;

Для этого необходимо в качестве функции взять одно из решений уравнения:

Из (2.8.3) мы видим, что при наложении дополнительного условия в форме (2.8.4) векторный потенциал становится решением уравнения Пуассона

Поэтому, используя результаты предыдущего параграфа, мы можем записать его решение в виде

Выражение (2.8.6) является решением уравнения (2.8.5) в тех случаях, когда плотность тока задана во всем пространстве (предполагается, что интеграл сходится).

На первый взгляд решение (2.8.6) ничем не отличается от решения аналогичной электростатической задачи (2.7.11). Однако это далеко не так. Чтобы в этом убедиться, рассмотрим случай, когда плотность тока отлична от нуля в ограниченном пространственном объеме, и исследуем ассимптотическое поведение решения (2.8.6) на больших расстояниях.

Прежде всего обратим внимание на то, что уравнения магнитостатики содержат в себе условие стационарности токов:

Чтобы в этом убедиться, достаточно применить операцию взятия дивергенции к первому уравнению системы (2.8.1) и воспользоваться тождеством

Из условия стационарности токов следует равенство

Это проверяется непосредственным дифференцированием с использованием (2.8.7). Интегрируя обе части соотношения (2.8.8) по некоторому объему в трехмерном пространстве и применяя к интегралу в правой части теорему Гаусса, получаем

Вернемся к нашей задаче и рассмотрим асимптотическое доведение интеграла (2.8.6) на расстояниях, больших по сравнению с размерами области пространства, занятой токами.

Разлагая подынтегральное выражение по обратным степеням и ограничиваясь первыми двумя членами разложения, мы получим

Первое слагаемое вследствие (2.8.9) равно нулю. Таким образом, векторный яотенциал на больших расстояниях убывает по крайней мере как Это можно интерпретировать как факт отсутствия магнитных зарядов. Следующий член разложения после несложных преобразований можно записать в виде

Эту величину называют магнитным дипольным моментом.