§ 6. УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА

Встав на путь геометрического описания гравитационного поля, мы пришли к выводу, что для формулировки точных общековариантных уравнений теории, ранее известной в линейном приближении в пространстве Минковского, достаточно отыскать такие объекты тензорной природы, которые в локально лоренцевой системе переходили бы в соответствующие

Объекты линеаризованной теории. Теперь в нашем распоряжений есть все необходимое, чтобы сформулировать точные уравнения гравитационного поля, которые обобщили бы уравнения (4.3.4) линеаризованной теорий. Можно утверждать, что таковыми являются следующие уравнения:

Преждё всего обратимся к правой части (4.6.1). При сопоставлении с линеаризованной теорией следует иметь в виду, что в последней в выражении для источника тензорного поля гравитацией нужно было пренебречь. С учётом этого очевидно, что правая часть (4.6.1) с точностью до коэффициента переходит в правую часть уравнения (4.3.4). Далее непосредственным вычислением можно убедиться в том, что левая часть (4.6.1) при Подстановке в качестве метрики разложения (4.4.1) в линейном приближении переходит в левую часть (4.3.4) с точностью до коэффициента. Далее, принимая во внимание значение константы линеаризованной теории, следующее из (4.3.24), находим, что указанное соответствие уравнений (4.6.1) и (4.3.4) является точным. Точно также можно убедиться в том, что в локально лоренцевой системе отсчета (4.6.1) в точности переходит в (4.3.4). Наконец, тензорный характер смысле риманова пространства, событий) уравнения (4.6.1) говорит о том, что сделанное утверждение правильно.

Перепишем уравнения (4.6.1) в виде

(более удобном для дальнейшего анализа. Эти уравнения, называемые уравнениями Эйнштейна, как трудно видеть, свободны от противоречия, от которого страдали уравнения (4.3.4) линеаризованной теории — как правая так и левая часть теперь имеют равную нулю ковариантную дивергенцию: левая часть в силу тождества. Бианки (4.5.2), а правая — в силу ковариантного условия консервативности тензора энергии-импульса полной материальной системы в присутствии гравитационного поля:

Тем самым нам удалось избавиться от основного противоречия, неизбежно возникающего при попытке сформулировать теорию в пространстве Минковского, когда изменения правой части уравнений с целью удовлетворить условию консервативности с учетом гравитационного взаимодействия приводила к изменению левой части и т. д. По существу, уравнения Эйнштейна и представляют собой компактную запись получаемого таким образом итерационного ряда.

Далее нам удалось преодолеть и трудность, связанную с приближенным характером калибровочной симметрии.

Построив уравнения в обвдековариантной форме, мы тем самым, сделали калибровочную инвариантность точным свойством теории.

Нетривиальной особенностью уравнений Эйнштейна является то, что они содержат внутри себя и уравнения материальной системы, порождающей самосогласованное гравитационное поле. Эти уравнения содержатся в ковариантном законе сохранения (4.6.3). Проиллюстрируем это на примере точечной частицы. Тензор энергии-импульса можно записать в виде

Вычисление ковариантной дивергенции этого выражения дает

Нетрудно видеть, что стоящее под знаком интеграла выражение тождественно абсолютной производной вектора 4-скорости, и потому условие консервативности приводит к воспроизведению уравнения геодезических.

Обсуднм теперь вопрос о выборе лагранжиана для уравнений Эйнштейна. Прежде всего заметим, что из сопоставления линеаризованного выражения для символов Кристоффеля (4.5.22) и лагранжиана линеаризованной теории (4.2.3) можно сделать вывод, что последний представим в форме

Оказывается, что варьирование этого лагранжиана как точного по метрике действительно приводит к уравнениям Эйнштейна. Недостатком этого лагранжиана является то, что символы Кристоффеля калибровочно-неииварнантные величин Неудивительно, что и в линеаризованной теории удалось добиться калибровочной инвариантности лишь относительно бесконечно малых преобразований. Можно, однако, добавить к «гамма-гамма» лагранжиану (4.6.6) полную дивергенцию

После преобразований находим

где скалярная кривизна. Этот лагранжиан калибровочно-инвариантев, и данный выбор может показаться удовлетворительным, однако скалярная кривизна содержит вторые производные от метрики и при варьировании следует учитывать более точно граничные условия. Если многообразие имеет

границу, причем нормальные вариации на границе не обращаются в нуль, то для получения уравнений Эйнштейна к этому лагранжиану нужно добавить еще поверхностный член вида

где К — след второй фундаментальной формы поверхности, определитель метрики, индуцируемой на поверхности.

Правая часть уравнений Эйнштейна естественным образом возникает при варьировании действия материальной системы по метрике. Такой тензор энергии-импульса, называемый метрическим, симметричен, ковариантно сохраняется

Левая часть уравнений Эйнштейна (4.6.2) представляет собой нелинейное выражение от компонент метрики и ее первых производных по координатам Пусть одна из компонент выбрана в качестве времени, и мы хотим проследить за эволюцией решения, заданного на начальной гиперповерхности. Оказывается, что не все десять уравнений (4.6.2) являются динамическими, т. е. содержат вторые производные от метрики по времени. Действительно, из тождеств Бианки (4.5.20) вытекает

Правая часть содержит производные от метрики по координатам не выше второго порядка, следовательно, компоненты» тензора не могут содержать производные по времени выше первого порядка. Таким образом, уравнения

являются не динамическими уравнениями относительно метрики, а связями. Связи возникают вследствие ковариантности уравнений Эйнштейна относительно группы диффеоморфизмов (4.4.6). Для устранения произвола в выборе координат метрический тензор можно подчинить четырем независимым условиям калибровки. Наиболее близким к калибровке (4.2.10) линеаризованной теории является выбор гармонических координат посредством наложения условий

или, что то же самое,

(преобразование обращающее нуль осуществляется функциями каждая из которых удовлетворяет «гармоническому» уравнению Условие гармоничности можно

представить в форме недостающих динамических уравнений. для компонент метрики

взамен уравнений связей (4.6.12), которые следует рассматривать как уравнения, определяющие согласованный набор начальных значений метрики и ее первых производных.

Итак, решение уравнений Эйнштейна определяет метрику лишь с точностью до произвольного выбора четырех калибровочных функций, что физически отвечает свободе выбора координатных систем. Более того, тензор кривизны, описывающий «истинное» гравитационное поле, также не определяется полностью источником в правой части уравнений Эйнштейна. Действительно, из (4.6.2) однозначно определяется тензор Риччи (4.5.16), который в свою очередь определяет тензор кривизны (4.5.18) с точностью до задания тензора Вейля Фактически, однако, дивергенция тензора Вейля связана с тензором Риччи в силу тождеств Бианки (4.5.15), записанных с учетом разложения (4.5.18):

С точностью до этого соотношения, тензор Вейля определяет свободное гравитационное поле.

Подобная ситуация имеет место и в электродинамике, где к решению неоднородных уравнений Максвелла с источником может быть добавлено решение однородного уравнения, описывающего свободные электромагнитные волны. Однако есть и отличие, связанное с тем, что уравнения Эйнштейна нелинейны. В силу этого гравитационные поля не удовлетворяют принципу линейной суперпозиции и отделение «свободного» гравитационного поля от ноля, создаваемого некоторым материальным, источником, вообще говоря, невозможно. Интерпретация того, или инод) решения уравнений Эйнштейна представляет непростую задачу, поскольку практически при построении решения приходится фйксировать калибровку, после чего метрика находится однозначно, а вместе с ней кривизна и тензор Вейля.

Еще одно важное отличие от электродинамики состоит в том, что источник в правой части уравнений Эйнштейна не может быть задан произвольно. Тождества Бианки (4.5.20) требуют выполнения условия консервативности тензора энергии — импульса (4.6.3), которое с физической точки зрения означает выполнение уравнений движения для материальной системы — источника гравитационного роля — в создаваемом ею поле. Соответствующее условие сохранения тока в электродинамике является значительно менее жестким. В теорий гравитации мы. с необходимостью сталкиваемся рассмотрением самосогласованной системы уравнений для материи и создаваемого ею

гравитационного поля. Это по существу и является физической причиной невозможности последовательного построения линейной теории тензорного поля в пространстве Минковского с учетом взаимодействия с материей.

В заключение коснемся вопроса об энергии-импульсе самого гравитационного поля. Уже в рамках линеаризованной теории мы столкнулись с тем, что канонический тензор энергии-импульса зависит от калибровки. В общей теории относительности эта трудность находит свое отражение в том, что в теории отсутствует объект, который можно было бы интерпретировать как плотность энергии и импульса гравитационного поля и имеющий статус тензора в многообразии. Известны способы введения так называемых псевдотензоров, ковариантных относительно ограниченных преобразований координат. В частности, канонический тензор энергии-импульса линеаризованной теории оказывается низшим членом разложения псевдотензора Эйнштейна, а симметризованный тензор линеаризованной теории соответствует псевдотензору Ландау — Лифшица. В существующей литературе эти проблемы обсуждаются достаточно широко, и нет смысла повторять здесь это обсуждение.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)