§ 9. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Если наложить на 4-потенциал электромагнитного полет условие лорендевой калибровки (см. § 1), то в отсутствие зарядов и токов мы получаем волновое уравнение

Зависящие от времени решения этого уравнения, т. е. переменное электромагнитное поле, которое может существовать в пустоте, называют электромагнитными волнами.

Поскольку условие Лоренца не фиксирует однозначно 4-потенциал, воспользуемся оставшейся свободой и выберем потенциал в наиболее удобном для описания электромагнитных волн виде.

В первом параграфе было показано, что условие Лоренца! не нарушается при калибровочном преобразовании

если только функция удовлетворяет условию

Дифференцируя это уравнение по времени, получаем

Таким образом, в отсутствие зарядов потенциал и производная являются решениями одного и того же уравнения. Поэтому всегда можно выбрать функцию так, чтобы выполнялось равенство

Таким образом, в пустом пространстве на скалярный потенциал электромагнитного поля всегда можно наложить условие

При этом дивергенция векторного потенциала также обращается в нуль:

В калибровке (2.9.2), (2.9.3) напряженности электрического, и магнитного полей связаны с векторным потенциалом соотношениями

Дополнительные услойия в форме (2.9.2), (2.9.3) не обладают свойством релятивистской инвариантности, так как скалярный потенциал является нулевой компонентой 4-вектора, и его значение меняется при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Рассмотрим два типа решений уравнения (2.9.1), которые в дальнейшем будут представлять для нас наибольший интерес.

Предположим, что решение волнового уравнения зависит только от одной пространственной координаты и времени . В этом случае любая декартова компонента векторов или А удовлетворяет уравнению

Введем новые переменные

В этих переменных уравнение (2.9.5) принимает вид

Общим решением этого уравнения является сумма

где и -произвольные дифференцируемые функции, вид которых определяется из начальных условий. Переходя к переменным получаем

Мы видим, что найденное решение представляет собой сумму двух функций, каждая из которых описывает возмущение, распространяющееся со скоростью света (напомним, что всюду в этой главе скорость света принята равной единице). Функция соответствует возмущению, которое распространяется в положительном направлении оси функция в отрицательном. Фронтом волны, т. е. поверхностью, во всех точках которой и имеет одно и то же значение, является плоскость Поэтому решения рассмотренного типа называются плоскими волнами.

В случае плоских волн, когда А зависит только от одной пространственной координаты, калибровочное условие (2.9.2), (2.9.3) приобретает вид

Так как зависит от координаты только в комбинации и не зависит от то для проекций векторов на направление распространения волны мы с помощью (2.9.4) получаем

Таким образом, в плоской волне векторы напряженностей электрического и магнитного полей лежат в плоскости,

перпендикулярной направлению распространения волны. Говорят, что плоские электромагнитные волны в вакууме поперечны.

Рассмотрим плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Чтобы уточнить ориентацию векторов в волне, выпишем еще раз соотношение (2.9.4) и учтем, что Мы получим соотношения

Выше было показано, что вектор ортогонален направлению распространения волны (в нашем случае — это положительное направление оси поэтому из последнего равенства следует, что модули наттряженностей равны между собой:

Поэтому в случае плоской волны плотность энергии (2.5.8) и плотность потока энергии (2.5.9) принимают вид

Из нолученных результатов непосредственно следует, что энергия в электромагнитной волне переносится со скоростью света.

Рассмотрим случай, когда характеризующие электромагнитную волну величины зависят только от времени и от расстояния до некоторой точки, которую мы выберем за начало отсчета системы координат. Такие волны получили название сферических.

Переходя в (2.9.1) к сферической системе координат, мы получаем уравнение

Решение этого уравнения будем искать в виде

Подстановка (2.9.10) приводит к уравнению, по виду совпадающему с (2.9.5):

Поэтому можно утверждать, что в самом общем случае функция и имеет вид

Первое слагаемое в (2.9.11) описывает волну, со скоростью света уходящую на бесконечность, второе соответствует сходящейся волне. Общий вид решения позволяет также утверждать, что сферические волны поперечны и для них, так же как и для плоских, выполняется равенство (2.9.7).

Среди электромагнитных волн важное место занимают монохроматические волны. Волна называется монохроматической, если характеризующие ее величины зависят от времени через множитель вида начальная фаза.

Рассмотрим плоскую линейно поляризованную монохроматическую волну. Если волна распространяется в положительном направлении оси то ее поле является функцией разности Поэтому вектор напряженности электрического поля имеет вид

Вектор напряженности магнитного поля получается из (2.9.12) с помощью соотношения (2.9.6).

Выражению (2.9.12) можно придать вид, не зависящий от выбора системы координат. Пусть направление распространения волны задается единичным вектором . В этом случае напряженность следует, очевидно, записать в виде

где Этот вектор называется волновым вектором.

Линейность уравнений Максвелла позволяет пользоваться также комплексной формой записи напряженностей. В частности, для мы имеем

Выражение (2.9.14) и аналогичное выражение для напряженности являются решениями уравнения Даламбера. Однако следует иметь в виду, что реально измеримыми величинами являются действительные части соответствующих комплексных выражений.

Разложение произвольного решения уравнения (2.9.1) по плоским монохроматическим волнам (2.9.14) используется при исследовании спектрально-углового распределения излучения.