Глава III. ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА

§ 1. СКАЛЯРНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Как было выяснено в предыдущей главе, электромагнитные поля инвариантны относительно калибровочных преобразований потенциалов:

При этом часть действия заряженной частицы и поля, ответственная за их взаимодействие, при калибровочном преобразовании (3.1.1) изменяется таким образом, что уравнения движения не изменяются. Действительно,

Последние слагаемые зависят от начальной и конечной точек и поэтому не дают вклада в вариационные уравнения — уравнения Лагранжа. Вспомним, что при включении электромагнитного поля канонический импульс частицы с зарядом переходит в т. е. «удлиненный», или кинетический импульс. Поскольку он соответствует скорости частицы то при калибровочном преобразовании, не изменяющем, очевидно, скорости, канонический импульс должен преобразовываться вместе с потенциалом:

При описании заряженных полей, например, скалярного поля (см. гл. I) следует принимать во внимание, что и они подвержены калибровочным преобразованиям. При этом необходимо потребовать, чтобы калибровочные преобразования не изменяли бы уравнения этих полей и соответственно функцию

Лагранжа и действие этих полей. Как уже указывалось гл. I, плосковолновому решению

уравнения Клейна — Гордона

соответствует квант поля, т. е. частица с -импульсом удовлетворяющим условию

В электромагнитном поле последнее уравнение для частицы заменяется на

Такому уравнению вместо (3.1.4) должно соответствовать уравнение для скалярного поля

которое, однако, не может иметь таких простых плосковолновых решений (3.1.3), как уравнение (3.1.4), поскольку функция координат. Уравнение (3.1.6) можно рассматривать как обобщение уравнения Клейна — Гордона при наличии электромагнитного поля. Удовлетворить условию калибровочной инвариантности этого уравнения легко, если потребовать, чтобы вместе с -потенциалом электромагнитного поля преобразовалось бы также и поле по закону

Тогда преобразование

компенсируется преобразованием (3.1.7), и мы имеем

т. е. «удлиненная производная» преобразуется по тому же закону (3.1.7), что и само поле Эта компенсация вполне аналогична инвариантности уравнения для частицы (3.1.5) при совместном преобразовании потенциалов и канонических импульсов (3.1.2).

Заметим одно очень важное обстоятельство. Преобразование поля (3.1.7) имеет такой же вид, как и унитарное однопараметрическое преобразование (1.6.12), с той, однако, разницей, что при калибровочном преобразовании (3.1.7) параметр становится зависящим от координат, Таким образом, калибровочное преобразование может быть введено путем перехода от глобального преобразования с постоянным

параметром к локальному преобразованию (3.1.7) с параметром изменяющимся от точки к точке. Тогда электромагнитное поле с потенциалом возникает из требования инвариантности уравнения поля которая достигается «удлинением» производной и соответствующим преобразованием для потенциалов (3.1.1). При этом функция Лагранжа скалярного поля также видоизменяется путем замены обычной производной удлиненной

оставаясь, таким образом, инвариантной относительно калибровочных преобразований (3.1.7), (3.1.8). Электромагнитное поле может быть названо ввиду этого калибровочным полем, отвечающим калибровочной группе (локальная группа!).

Выделим в лагранжиане (3.1.10) свободный лагранжиан, не содержащий потенциалов электромагнитного поля, и лагранжиан взаимодействия, зависящий от переменных скалярного и электромагнитного полей:

Включение в динамическую систему электромагнитного поля с лагранжианом

приводит нас с замкнутой модели, так называемой скалярной электродинамике, системе взаимодействующих скалярного и электромагнитного полей с лагранжианом:

При этом электромагнитное поле выступает в двоякой роли: как калибровочное поле, компенсирующее неинвариантные относительно калибровочных преобразований члены, и как переносчик взаимодействия между зарядами поля, само при этом являясь динамической системой с уравнениями движения в виде уравнений Максвелла. Нетрудно ползать, что лагранжевыми уравнениями для электромагнитного поля в соответствии с лагранжианом модели (3.1.13) действительно будут максвелловы уравнения, полученные выше в гл. II. При этом в правой части уравнений

оказывается плотность -тока, следующая из теоремы Нётер и определяемая формулой (1.6.13):

где Как видно, уравнения поля (3.1.6) и (3.1.14) являются существенно нелинейными, и поэтому они могут

быть решены лишь в очень ограниченном числе частных случаев (например, постоянные или заданные в виде конкретных простейших функций токи или же электромагнитные поля).