§ 5. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Возможны различные способы введения тензора энергииимпульса электромагнитного поля. Традиционный подход заключается в вычислении четырехмерной дивергенции тензора энергии-импульса системы невзаимодействующих частиц, вид которого известен из релятивистской механики. Показывается, что тензор энергии-импульса частиц, взаимодействующих с электромагнитным полем, не сохраняется. После этого из величин, характеризующих электромагнитное поле, строится тензор второго ранга, добавление которого к тензору энергии-импульса частиц приводит к некоторому дифференциальному закону сохранения. Найденный тензор отождествляется с тензором энергии-импульса электромагнитного поля.

В гл. 1 мы определили тензор энергии-импульса как ток Нётер, сохранение которого обусловлено инвариантностью действия рассматриваемой системы относительно преобразований группы пространственно-временных трансляций.

Используя полученное там выражение тензора энергии-импульса (1.6.16), явный вид лагранжиана свободного электромагнитного поля (2.2.2)

и учитывая то, что в рассматриваемом случае величинами и являются компоненты -потенциала мы получаем

Для вычисления стоящей в (2.5.1) производной получим выражение для вариации лагранжиана

Здесь мы воспользовались соотношением (2.1.21) и. антисимметричностью тензора поля

Из выражения для вариации (2.5.2) следует, что

Используя это выражение, мы получаем, что канонический тензор энергии-импульса имеет вид

или для контравариантных компонент

Полученное выражение не является калибровочно инвариантным. Поэтому добавим к нему дивергенцию вида

В (2.5.5) мы учли, что в отсутствие зарядов уравнение поля имеет вид

Добавление тензору энергии-импульса 4-дивергенции (2.5.5) лежит в рамках допустимого произвола в определении тока Нётер и не влияет на интегральные динамические характеристики типа -вектора энергии-импульса электромагнитного поля. Окончательное выражение для тензора энергии-импульса включает в себя только калибровочно инвариантные комбинации:

Воспользовавшись легко проверяемым тождеством

преобразуем правую часть (2.6.1), после чего умножим обе части полученного равенства на получим

где мы воспользовались введенными в § 5 обозначениями для плотности энергии и для вектора Умова — Пойнтинга. Соотношение называют теоремой Умова — Пойнтинга в дифференциальной форме. Как мы увидим, оно выражает собой закон сохранения энергии для системы, состоящей из зарядов и электромагнитного поля.

Проинтегрируем обе части уравнения (2.6.2) по некоторому трехмерному объему и применим к стоящему справа члену теорему Гаусса

Далее, воспользовавшись явным выражением для тока вычислим второй интеграл в левой части:

В полученном равенстве; под понимается сумма кинетических энергий частиц, находящихся в объеме Предполагается, что в рассматриваемый момент времени на границе объема частиц нет.

С учетом (2.6.4) равенство (2.6.3) приобретает вид

Полученное соотношение имеет простой физический смысл. Равенство (2.6.5) означает, что изменение суммарной энергии заряженных частиц и электромагнитного поля в объеме равно с обратным знаком потоку вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность, ограничивающую объем. Это положение носит название теоремы Умова — Пойнтинга. Если интегрирование производится по всему трехмерному пространству, то интеграл по поверхности в правой части (2.6.5) исчезает (считается, что поле на бесконечности равно нулю), и мы получаем закон сохранения энергии замкнутой системы, состоящей из зарядов и поля:

Соотношение (2.6.5) может быть получено и непосредственно из выражения для тензора энергии-импульса электромагнитного

поля (2.5.6). Вычисляя четырехмерную дивергенцию этого тензора, получаем

Воспользуемся уравнениями Максвелла в форме (2.1.6) и (2.1.8) и приведем это равенство к виду

Покажем, что это уравнение выражает собой закон сохранения суммарного -импульса системы. Воспользуемся выражением для тока (2.1.12) и перепишем равенство (2.6.7) в виде

Проинтегрируем обе части равенства (2.6.8) по некоторому объему V и примем во внимание уравнение движения точечного заряда (2.4.7), получим

В этом выражении через обозначен полный -импульс электромагнитного поля в рассматриваемом объеме, суммирование ведется только по частицам, находящимся внутри объема.

При совпадает с равенством (2.6.5). При мы получаем закон изменения суммарного трехмерного импульса системы в заданном объеме:

Стоящая в правой части этого равенства величина представляет собой количество импульса, вытекающее в единицу времени из объема. Поэтому величины представляют собой компоненты трехмерного тензора плотности потока импульса. Тензор как уже говорилось в § 5, называют тензором максвелловских натяжений.

Пусть электромагнитное поле не зависит от времени. В этом случае

и равенство (2.6.10) приобретает вид

Воспользовавшись уравнением движения (2.4.7), мы можем

Тензор (2.5.6) симметричен. Кроме того, его след равен нулю:

Выразим компоненты непосредственно через напряженности электрического и магнитного полей. Используя явное выражение для тензора поля (2.1.5), мы находим вид компоненты, которая отождествляется с плотностью энергии электромагнитного поля

Плотность потока энергии совпадает с трехмерным вектором, компонентами асоторого являются

Этот вектор называется вектором Пойитинга. Величины образуют трехмерный тензор, который называется максвелловским тензором натяжений. Его составляющие следующим образом выражаются через компоненты

На физической интерпретации различных компонент мы оетановимся подробнее в следующем параграфе.

Вернемся на время к классической теории поля и рассмотрим вопрос о том, каким образом изменится выражение для тензора эиергии-импульса безмассового векторного поля, если в качестве лагранжиана выбрать одно из выражений (см. §2):

или

и не накладывать на -потенциал никаких дополнительных условий.

В § 2 было показано, что эти лагранжианы отличаются на четырехмерную дивергенцию и приводят к одному и тому же выражению для -импульса поля. Поэтому достаточно рассмотреть только второй. Мы видим, что он получается добавлением к лагранжиану (2.2.2) величины

Соответствующая добавка к каноническому тензору энергии-импульса (2.5.3) имеет вид

После подстановки (2.5.11) в (2.5.12) получаем

Рассмотрим величину

Выражение (2.5.13) не является знакоопределенным. Вклад в полную энергию поля от второго члена в (2.5.13) отрицателен, и энергия поля не является величиной, положительно определенной. Положительная определенность энергии может быть достигнута только наложением условия Лоренца

Это единственное релятивистски инвариантное условие, обеспечивающее нужный результат. В результате мы возвращаемся к калибровочно инвариантному лагранжиану (2.2.2).

Заметим, что если интересоваться только интегральными характеристиками поля, подобными -вектору энергии-импульса, то неоднозначность в определении тензора энергии-импульса не приводит к каким-либо осложнениям. Ситуация существенно меняется при попытках последовательного учета гравитационных эффектов, поскольку тензор энергии-импульса является источником в уравнениях гравитационного поля (см. гл. IV). В классической теории гравитации определяется как вариационная производная действия для материи по метрике

Определенный таким образом тензор называется метрическим тензором энергии-импульса. Из определения (2.5.14) следует, что метрический тензор автоматически является симметричным. Показано также, что в случае безмассовых полей его след равен нулю.

Вычисление метрического тензора энергии-импульса электромагнитного поля выходит далеко за рамки круга вопросов, рассматриваемых в этой главе. Все же следует сказать, что вычисленный в соответствии с определением (2.5.14) тензор совпадает с сим метризованным каноническим тензором энергии-импульса (2.5.6).