Глава I. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ

§ 1. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА

Как классические поля, так и объекты классической механики представляют собой динамические системы, эволюционирующие во времени в трехмерном конфигурационном пространстве. Прежде чем изучать движение таких систем, необходимо, очевидно, познакомиться со структурой пространства и времени, в которых разворачиваются все события.

Основным законом, определяющим движение механических систем в рамках ньютоновской механики, является второй закон Ньютона. Математически он формулируется в виде уравнения движения для точки массы положение которой в момент времени определяется радиусом-вектором

Здесь сила представляет собой, вообще говоря, функцию координаты скорости и времени Это уравнение инвариантно (т. е. не меняет своего вида) относительно преобразований, называемых преобразованиями Галилея. Указанная инвариантность лежит в основе принципа относительности Галилея (1632), который формулируется следующим образом.

Все механические явления протекают одинаково в системах отсчета, движущихся относительно друга прямолинейно и равномерно, т. е. в различных инериальных системах отсчета.

Напомним, что факт существования в природе таких инерциальных систем отсчета постулируется в первом законе Ньютона, который в отсутствие внешних воздействий гарантирует физическому объекту прямолинейное и равномерное движение. Переход от одной инерциальной системы отсчета К к другой движущейся относительно К со скоростью сопровождается, как известно, преобразованием радиуса-вектора где определяется равенством

При этом принимается, что как в новой, так и в старой системе отсчета время течет одинаково, т. е. Это означает, что

часы в обеих системах, синхронизированные в начальный момент, и в дальнейшем всегда показывают время одинаково, независимо от того, как движется система, время по предположению носит абсолютный характер. Уравнение (1.1.2) вместе с условием неизменности хода времени и представляют собой преобразования Галилея. Продифференцируем вектор определяемый уравнением (1.1.2), по времени. В результате приходим к известному в механике закону сложения скоростей

После дифференцирования последнего соотношения по времени с учетом постоянства скорости V получаем равенство ускорений

Принимая теперь согласно опытным данным, что при преобразованиях (1.1.2), масса и сила инвариантны, т. е. и учитывая равенство ускорений (1.1.4), получим, что уравнение второго закона Ньютона в штрихованной системе

и уравнение в исходной системе (1.1.1) имеют один и тот же вид и, очевидно, следуют одно из другого, т. е. оказываются инвариантными относительно преобразований Галилея. Это утверждение и лежит в основе принципа Галилея.

Подчеркнем, что принцип относительности Галилея действует лишь в рамках ньютоновской механики. Переходя к электродинамическим явлениям, таким, например, как распространение света, представляющего собой электромагнитные волны, мы сразу же увидим, что этот принцип нарушается. Как показали многочисленные эксперименты, скорость распространения электромагнитных волн и, в частности, света не зависит от скорости движения источника волн. Таким образом, закон сложения скоростей (1.1.3) для света оказывается не справедливым. Поэтому, если мы хотим понимать принцип относительности в более широком, чем это делал Галилей, смысле, т. е. обобщая его на электродинамику, приходим к необходимости обобщить и соответствующие преобразования. Последовательно этот вопрос был решен в 1905 г. А. Эйнштейном, который выдиинул физический принцип относительности, обобщающий принцип относительности Галилея и справедливый для всех физических процессов. Этот принцип А. Эйнштейн положил в основу созданной им специальной теории относительности или релятивистской теории. Физический принцип относительности состоит из следующих двух постулатов.

1-й постулат Физические явления в различных инердиальных системах отсчета протекают одинаково при одинаковых начальных условиях.

Рис. 1.1

2-й постулат Скорость света в вакууме одинакова по всем направлениям любом месте данной инерциальной системы и одинакова во всех инердиальных системах отсчета. Заметим, что здесь мы отвлекаемся от гравитационного взаимодействия, которому будет посвящена последняя глава книги. Второй постулат требует постоянства скорости света в вакууме при его распространении в любом направлении (изотропность пространства), в любом месте (однородность пространства) и при любом выборе инерциальной системы отсчета, что является совершенно новым требованием, принципиально отличающим от ньютоновской механики. Получим теперь преобразования взамен преобразований Галилея таким образом, чтобы они соответствовали принципу относительности Эйнштейна. Будем исходить из постоянства скорости света в вакууме с, которая входит в уравнение сферической световой волны где радиус волнового фронта, время, дрошедшее с момента испускания волны. Рассмотрим инерцильную систему отсчета К, представляющую собой систему декартовых осей, и помещенные в ней часы, а также вторую точно такую же систему осей с такими же часами, представляющую собой систему К (рис. 1.1). Пусть система К движется со скоростью вдоль оси совпадающей по направлению с осью системы К, а оси остаются параллельными. Выходя за рамки галилеевских преобразований, придется включить в преобразования и время, т.е. считать отсчеты первоначально синхронизированных часов в системах отсчета т.е. вообще говоря, не совпадающими.

Далее будем требовать, чтобы преобразования координат и времени (х, (х, были линейными. Тем самым в соответствии с принципом относительности (1-й постулат) иеускоренное в системе К тело будет также неускоренным в системе К, т. е. Пусть в системе К источник, находящийся в начале координат, испустил световой сигнал в момент времени тогда раднус сферического волнового фронта и время распространения волны удовлетворяют уравнению

В системе К аналогичные величины, отвечающие данному

сигналу, связаны уравнением

в котором скорость света с та же, что и в уравнении (1.1.5) (2-й постулат). Введем теперь квадратичную комбинацию координат и времени

и назовем ее интервалом. Тогда для света в соответствии с (1.1.5) и (1.1.6) в системах получим

Итак, для света имеем

т. е. интервалы в обеих системах равны между собой и равняются нулю. В общем случае связаны линейным соотношением, поскольку между (х, по предположению существует линейная зависимость. Связь должна носить универсальный характер, и поэтому с учетом (1.1.8) получим в общем случае

где -некоторый коэффициент, зависящий от скорости системы К.

Отразим теперь оси и соответственно Теперь оказывается, что система К движется вдоль оси со скоростью V относительно системы К и тогда

Сравнивая равенства (1.1.9) и (1.1.10), находим Таким образом, приходим к условию

Оно представляет собой инвариантность интервала при преобразованиях, связанных с переходом от одной инерциальной системы отсчета к другой. Этому условию в выбранном нами случае движения вдоль оси можно удовлетворить, взяв линейное преобразование вида

Тогда условие (1.1.11) сведется к требованию

удовлетворить которое можно линейным преобразованием

представляющим собой гиперболический поворот, или псевдоповорот, в плоскости поворот на мнимый угол При этом значению соответствуют Связь параметра и скорости V устанавливается следующим образом. Рассмотрим начало координат системы К, т. е. точку Для нее согласно (1.1.13) имеем Вместе с тем очевидно, что эта точка движется со скоростью V и поэтому Отсюда

и тогда

Уравнение (1.1.14) дает связь параметра задающего соотношение исходных и преобразованных координат, с физическим параметром — скоростью системы отсчета Заметим, что параметр в физике элементарных частиц носит название «быстрота». Итак, в данном случае движения системы отсчета вдоль оси находим

где Эти преобразования представляют собой частный случай преобразований Лоренца (специальные преобразования Лоренца), обеспечивающих инвариантность интервала Обратные преобразования от штрихованных величин к нештрихованным получаются заменой т. е. Таким образом, оказалось, что время вектор подвержены совместным линейным преобразованиями (1.1.15), в которых временные и пространственные координаты взаимозависимы. Поэтому целесообразно объединить их, введя четырехмерный вектор -вектор)

в котором Подобный вектор принадлежит четырехмерному линейному пространству, метрику

которого, учитывая определение инвариантного интервала (1.1.7), задаем следующим образом:

где два -вектора, принадлежащие этому пространству. Если нумеровать компоненты векторов (1.1.16) индексом то (1.1.17) можно кратко записать так:

Здесь в последней части равенства мы применили общепринятое условное обозначение суммирования по повторяющимся индексам без знака суммы; — метрический тензор, имеющий ненулевые диагональные элементы:

Остальные элементы тензора равны нулю. Вводимое пространство является частным случаем псевдоевклидовых пространств со знаконеопределенной метрикой. Данное пространство, т. е. пространство носит название пространства Минковского. При преобразованиях Лоренца вида (1.1.15) длина вектора и скалярное произведение векторов в пространстве Минковского остаются инвариантными:

Квадрат интервала как и квадрат длины вектора пространства Минковского, в силу псевдоевклидовости последнего может, вообще говоря, иметь любой знак. Возможны три случая (рис. 1.2):

1) - времениподобный вектор (интервал);

2) - пространственноподобный (вектор (интервал);

3) - изотропный, или светоподобный, вектор (интервал).

Подчеркнем, что в силу (1.1.20) выбор знака является инвариантным, т. е. не меняется никаким преобразованием. Если то вектор лежит светового конуса если то внутри светового конуса (см. рис. 1.2). Смысл названий векторов становится ясным, если рассмотреть эти три случая более Подробно. Пусть вектор соединяет две точки в пространстве Минковского, отвечающие двум событиям, произошедшим в моменты времени и в пространственных точках с радиус-векторами Тогда, если интервал пространственноподобный то мойно выбрать систему отсчета, где т. е. и события происходят одновременно в разных

пространственных точках: они абсолютно удалены друг от друга. Если же интервал времениподобный то события выбором системы отсчета могут быть пространственно совмещены, и тогда по сути дела, события происходят в одной и той же точке пространства, но в разные моменты времени. Если скорость частицы то квадрат интервала, отвечающего перемещению частйцы за время на будет равен

т. е. данный интервал времениподобен. Движению частицы в пространстве Минковского соответствует траектория, называемая мировой линией и задаваемая уравнениями

где время выступает в качестве параметра.

Рис. 1.2