§ 4. ВЫВОД УРАВНЕНИИ МАКСВЕЛЛА ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ

При нахождении уравнений поля из принципа наименьшего действия движение зарядов, т. е. распределение источников считается заданным. Поэтому вариация второго слагаемого в (2.2.1) равна нулю, и мы имеем

При вычислении вариации (2.4.1) мы воспользовались возможностью перестановки операций варьирования и интегрирования и соотношением

Используя соотношение, связывающее тензор электромагнитного поля с -потенциалом:

и антисимметричность тензора мы получаем

Меняя порядок выполнения операций дифференцирования варьирования, приведем первое слагаемое в подынтегральном; выражении в (2.4.1) к виду

Интеграл по -объему от дивергенции даст нуль, так как вариация на границе области интегрирования предполагается равной нулю. Таким образом, для вариации (2.4.1) мы получаем следующее выражение:

Требование равенства нулю вариации (2.4.3) при произвольных значениях эквивалентно требованию обращения в нуль вариационной производной

Оно приводит к следующему уравнению:

Мы видим, полученное из принципа наименьшего действия уравнение совпадает с уравнением Максвелла (2.1.6).

Второе уравнение поручается непосредственно из соотношения (2.1.21). Дифференцируя это равенство по получаем

Запишем еще два равенства, которые получаются из при циклической перестановке индексов:

Складывая почленно левые и правые части равенств (2.4.6) и мы получаем уравнение

Покажем, что это уравнение совпадает с уравнением (2.1.8). Заметим, что левая часть равенства (2.4.8) обращается в нуль при совпадении любых двух индексов. Поэтому нетривиальные уравнения получаются только тогда, когда все три индекса различны. Исключение тривиальных уравнений можно осуществить, сворачивая (2.4.8) с абсолютно антисимметричным лсевдотензором четвертого ранга :

Действительно, абсолютная антисимметрия приводит к тому, что при любом значении индекса в левую часть (2.4.9) будут входить только производные при Хфаф фуфц, и мы получаем уравнение, совпадающее с (2.1.8).