§ 3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С МАТЕРИЕЙ

Попытаемся ввести взаимодействие в построенную теорию свободного тензорного поля в пространстве Минковского, сохраняя основные принципы, заложенные ранее. Плотность лагранжиана взаимодействия должна быть скаляром в пространстве Минковского, который при инфинитезимальных калибровочных преобразованиях (4.2.1) изменялся бы не более чем на полную дивергенцию некоторого вектора. Оставаясь в рамках линейной теории, мы должны выбрать этот скаляр пропорциональным причем производные следует исключить, чтобы сохранить основную динамическую структуру теории. Таким образом, лагранжиан взаимодействия должен представлять собой свертку с некоторым симметричным тензором второго ранга (антисимметричная часть должна выпадать в силу симметрии описывающим материальную систему. Из физических соображений следует, что источником гравитационного поля должна быть энергия системы. Перечисленным требованиям удовлетворяет тензор энергии-импульса, и мы приходим к естественному выбору

где константа взаимодействия. Простейшее предположение состоит в том, что полный тензор энергии-импульса всех видов материи, это эквивалентно предположению об универсальности гравитационного взаимодействия. Существуют важные предпосылки для этого предположения. Для того чтобы лагранжиан (4.3.1) при калибровочном преобразовании изменялся бы лишь на полную дивергенцию, необходимо, чтобы источник удовлетворял условию консервативности

Действительно, только в этом случае при преобразовании (4.2.1) будем иметь

тем самым калибровочная инвариантность теории относительно инфинитезимальных градиентных преобразований будет сохранена. Отсюда следует, что можно непротиворечивым образом ввести взаимодействие тензорного поля лишь с полной (включающей все взаимодействующие негравитационно подсистемы) материальной системой, при этом константы связи

гравитационного поля с каждой из подсистем должны совпадать. Если же рассматривается совокупность подсистем, взаимодействующих между собой лишь посредством гравитационных сил, то равенство констант связи удается доказать, привлекая квантовые соображения (низкоэнергетические теоремы).

Здесь, однако, мы сразу сталкиваемся с принципиальной трудностью, преодоление которой и является ключевым моментом в построении полной нелинейной теории. Дело в том, что добавление к лагранжиану самой материальной системы лагранжиана взаимодействия (4.3.1) изменяет и уравнения движения этой системы, в результате чего условие консервативности (4.3.2), которое имело место в пренебрежении гравитационными силами, при их учете уже не будет выполняться. Это означает, что рассматривать полную систему уравнений гравитационного поля и материи как самосогласованную нельзя. Можно попытаться исправить ситуацию, добавляя в лагранжиан взаимодействия тензор энергии-импульса самого гравитационного поля, но при этом помимо трудностей, связанных с его калибровочной неинвариантностью, мы одновременно изменили бы динамику гравитационного поля, т. е. левую часть полевых уравнений (4.3.4). Это в свою очередь потребовало бы снова изменить лагранжиан взаимодействия и т. д. Результирующая теория, таким образом, будет нелинейной, а рассмотренная в предыдущем разделе картина свободного тензорного поля оказывается лишь ее линейным приближением. Мы также должны помнить, что линейная теория обладает инвариантностью лишь относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований, и необходимо позаботиться, чтобы симметрия полной теории была точной. Разумеется, реализовать явно описанную итерационную процедуру построения нелинейной теории без привлечения дополнительных соображений было бы затруднительно уже в силу многообразия физически интересных материальных систем. Попытаемся поэтому найти путеводную нить построения, рассмотрев более детально следствия, к которым приводит введение лагранжиана взаимодействия (4.3.1).

Варьирование полного лагранжиана (4.2.3), (4.3.1) по приводит к уравнениям поля с источником

Можно показать, что и для взаимодействующего тензорного поля условия Де Дондера — Фока (4.2.10) могут быть наложены (в силу условия консервативности (4.3.2) для тензора энергии-импульса материальной системы). В этой калибровке система уравнений (4.3.4) приобретает простой вид

Найдем гравитационное поле, создаваемое точечной массой, покоящейся в начале координат. В этом случае единственная отличная от нуля компонента тензора энергии-импульса равна

Решением уравнения (4.3.5), сводящегося к уравнению Пуассона, является ньютоновский потенциал

(все остальные компоненты равны нулю). Чтобы понять влияние этого поля на движение других частиц, построим действие для пробной точечной чаетицы во внешнем гравитационном поле. Для этого к действию свободной частицы массы движущейся в пространстве Минковского вдоль мировой линии которое здесь удобно выбрать в виде

добавим взаимодействие с тензорным полем, полагая в

Результирующее полное действие приобретает вид

где лагранжиан равен

Варьирование этого лагранжиана приводит к следующим уравнениям движения:

Заметим, что из уравнений выпадает масса — в этом можно усмотреть следствие принципа эквивалентности равенства инертной и гравитационной масс. Но еще более неожиданной чертой уравнения движения частицы во внешнем тензорном поле оказывается то, что само положение частицы в пространстве Минковского, т. е. координаты зависит от выбора калибровки гравитационных потенциалов Действительно, при калибровочном преобразовании (4.2.1) уравнение (4.3.12) изменяется, если только одновременно не подвергнуть координаты частицы преобразованию вида

В этом случае калибровочная инвариантность уравнений движения относительно бесконечно малых преобразований

гравитационных потенциалов будет обеспечена, но мы приходим к неожиданному выводу, что координаты частицы в пространстве Минковского наблюдаемы!

С помощью калибровочных преобразований можно обратить в нуль гравитационные потенциалы в окрестности любой выбранной точки в пространстве Минковского. Пусть значения потенциалов в выбранной точке Подвергнем потенциалы калибровочному преобразованию, выбирая в качестве линейную функцию координат:

Тогда преобразованные потенциалы обратятся в нуль, одновременно «перенормируются» координаты в окрестности выбранной точки:

Записанная в терминах перенор в а иных координат функция Лагранжа (4.3.11) приобретает вид функции Лагранжа свободной, частицы:

Далее, исходя из уравнения, (4.3.12), можно показать, что величина

является интегралом движения. Выберем параметр так, чтобы равнялось единице. Тогда, если предположить, что координаты пространства Минковского определяют физические расстояния и промежутки времени, то мы пришли бы к парадоксальному выводу, что скорость частицы не ограничена сверху. Действительно, пусть для простоты имеет диагональный вид. Рассматривая одномерное движение вдоль оси х, для квадрата скорости получаем неравенство

Величина «локальной скорости света» как видно из этой формулы, может быть как меньше, так и больше единицы (физической скорости света). Напротив, в терминах «перенормированных» координат инвариант приобретает вид

характерный для пространства Минковского, и все становится на свои места.

Итак, рассмотрение движения пробной точечной частицы ее гравитационном поле, описываемом тензором, второго ранга показывает, что координаты пространства Минковекого, перестают быть физическими координатами, связанными с физическими расстояниями и промежутками времени. Выбрать физические координаты удается лишь локально, в окрестности выбранной точки. Склеивание таких локальных карт приводит к концепции искривленного (риманова) пространства-времени, В искривленном пространстве-времени координаты уже не задают непосредственно расстояния И промежутки времени, но лишь «нумеруют» события. Для нахождения физических расстояний и промежутков времени необходимо задать конкретную процедуру измерения, в рамках которой эти величины могут быть вычислены.

К аналогичным выводам приводит и рассмотрение взаимодействия тензорного поля с другими материальными системами. Например, в случае электромагнитного поля, подставляя выражение (2.5.6) для тензора энергии-импульса в (4.3.1), получаем следующий лагранжиан взаимодействия:

Соответствующие полевые уравнения будут иметь вид

Эти уравнения также неинварианты относительно калибровочного преобразования гравитационных потенциалов. Однако калибровочную инвариантность можно восстановить, если потребовать одновременно с (4.2.1) преобразования 4-потенциала электромагнитного поля согласно соотношению

Это соотношение есть не что иное, как преобразование вектора в искривленном пространстве-времени, порождаемое преобразованием координат (4.3.11).

Итак, попытки ввести взаимодействие в линейную теорию тензорного поля приводят к следующим выводам.

1. Линейная теория не может служить основой самосогласованной картины взаимодействия гравитационного поля с материальными системами.

2. В присутствии гравитационного поля координаты пространства Минковского больше не определяют физические расстояния и промежутки времени.

3. Одновременно с калибровочными преобразованиями гравитационных потенциалов необходимо подвергнуть преобразованиям переменные, описывающие материальные системы. Эти преобразования можно интерпретировать как индуцируемые

преобразованием координат, которые необходимо совершить в уравнениях движения пробных тел.

В заключение этого раздела вернемся к задаче движения пробной частицы в поле другой частицы (4.3.7) и найдем значение константы связи, сопоставляя с картиной движения в ньютоновской теории. Подстановка выражения (4.3.7) в (4.3.12) приводит к уравнению (считаем скорость малой по сравнению со скоростью света)

Сопоставляя с законом Ньютона, приходим к выводу, что константа связи и гравитационная постоянная связаны соотношением