§ 6. УРАВНЕНИЯ ВОНГА

Рассмотрим теперь движение классической частицы, движущейся в неабелевом поле. Для определенности остановимся на группе и будем называть неабелев заряд частицы, рассматриваемой как модель кварка, цветом. Разумеется, подобная частица не может последовательно описываться классическими уравнениями, так как ее движение ограничено микромасштабами порядка размеров нуклонов. Тем не менее в ряде квантовых задач приходится обращаться к классическим уравнениям, эффективно описывающим движение системы при определенных условиях. Кроме того, исследование особенностей классических решений помогает понять закономерности квантового поведения частиц.

Учитывая, что в неабелевой теории заряд частицы — многокомпонентная величина, описываемая групповым вектором Та, мы приходим к выводу об увеличении числа степеней свободы частицы. Помимо радиуса-вектора ее динамическими переменными являются также компоненты вектора Та, связанные условием Действие для цветного заряда можно представить в виде

где часть действия, ответственная за пространственное движение неабелевой частицы, цветовая часть действия, определяющая динамику цвета частицы. Для легко написать

выражение, являющееся обобщением действия электрического заряда на неабелев случай:

где лагранжева функция равна

Варьируя это действие по координатам частицы, приходим к уравнению, непосредственно обобщающему уравнение Лоренца в электродинамике:

Другое уравнение должно описывать динамику цвета и получается варьированием Явный вид этой части действия найдем следующим образом. Классический вектор цвета Та с групповой точки зрения аналогичен вектору момента количества: движения частицы Поэтому цвет в классическом приближении можно представить себе как своеобразный волчок. Его лагранжева функция имеет вид

причем в данном случае два главных момента инерции и только Этот случай неосуществим для обычного волчка, однако имеет место при описании вектора магнитного момента в теории микромагнетизма.

Введем, как обычно, углы Эйлера и для описания поворотов в групповом пространстве. Тогда функция Лагранжа примет вид

Направление цветового вектора постоянной длины определяется сферическими углами

причем

Функция Лагранжа не зависит от поэтому

Введем функцию Рауса

Отбрасывая постоянную, получим окончательно функцию Лагранжа для цветового вектора

Уравнения движения вектора найдем, варьируя функцию Лагранжа

Здесь где угол поворота. Поэтому уравнения движения примут вид

где . В явном виде

Составим векторные произведения

Подставим полученные производные в уравнение, учитывая также слагаемое в зависящее от вектора цвета итоге, отождествляя константу найдем

Последнее уравнение вместе с уравнением для координат (3.6.4)

составляют систему уравнений Вонга.

Рассмотрим примеры решений уравнений Вонга в простейших случаях однородных полей. Будем называть поле пространственно однородным, если вектор-потенциал в точке связан с вектор-потенциалом в точке некоторым калибровочным преобразованием

где Тогда для тензора поля имеем

Рассмотрим бесконечно малые (инфинитезимальные) преобразования

Пусть

где Подставим (3.6.13), (3.6.12) в уравнение (3.6.10). Тогда линейные по 6 члены в левой и правой частях этого уравнения совпадут, если

Рассмотрим две возможности.

1) Поле по существу является абелевым, коммутатор в (3.6.14) равен нулю, и мы получаем, интегрируя (3.6.14),

причем константу можно выбрать равной нулю, Абелев тензор напряженности равен

Он определяет однородное поле, так как Итак, однородное поле можно задать коммутативными линейно растущими потенциалами.

Тогда

— уравнения для определения оператора калибровочного преобразования при заданных потенциалах Напряженность цветового поля

Итак, постоянное однородное поле можно задать также некоммутативными потенциалами. В этой неоднозначности задания напряженности поля состоит одна из особенностей теории неабелевых полей.

В первом случае абелевых потенциалов поля удовлетворяют уравнениям без источников

Во втором случае неабелевых потенциалов поля удовлетворяют неоднородным уравнениям, так как

т. е. имеется постоянный источник поля:

Рассмотрим теперь специально второй случай Согласно Брауну и Вайсбергеру, можно ввести следующую классификацию таких полей. Введем матрицу

Соответствующим глобальным преобразованием можно ее диагонализовать, т. е.

Это означает, что компоненты для различных а ортогональны.

Рассмотрим некоторые примеры.

Тогда

В результате получаем электрическое поле

т. е. получаем магнитное поле

т. е. получаем трехмерное хромомагнитное поле

Рассмотрим теперь в качестве примера решения уравнений Вонга в некоторых конфигурациях цветовых полей.

1. Электрическое поле. Абелев случай. Пусть Для цвета получим уравнение

Отсюда т. е. вектор прецессирует вокруг третьей оси цветового пространства. Для координаты получим

Откуда

— известное из электродинамики решение с эффективным зарядом

2. Электрическое поле. Неабелев случай.

Пусть

Тогда

Уравнения Вонга имеют вид

При этом

Уравнение (3.6.4) можно переписать, введя кинетический импульс канонический импульс):

Используя (3.6.19), отсюда находим

т. е. канонический импульс является интегралом движения, Это значит, что

и так как а Та ограничено, то и также ограничено в отличие от абелева случая, где линейно растет со временем.

В нерелятивистском пределе находим

где в данном случае Тогда для цвета будем иметь

Откуда

Эти уравнения описывают прецессию вектора цвета вокруг оси Для -координаты имеем

Общее решение этого уравнения

описывает осцилляции вдоль электрического поля плюс переносное движение постоянной скоростью. Как видно, это движение в корне отличается от движения в таком же электрическом поле в абелевом случае. Главной особенностью движения в неабелевом поле является переплетение координат и цветовых неременных в уравнениях движения, в результате чего пространственное движение и движение цвета не разделяются, а оказываются связанными друг с другом.

3. Магнитное поле. Абелев случай. Пусть

Тогда

В таком поле согласно уравнениям Вонга а для оставшихся компонент цвета получаем уравнения, которые можно объединить в одно уравнение для их комплексной комбинации

где

Предполагая, что в подгруппе неабелевой группы возникает обычная абелева электродинамика, положим равным заряду электрона, и восстановим обычные единицы; Тогда вместо (3.6.20а) получим

Решение (3.6.20) описывает прецессию вокруг третьей оси

Калибровочное преобразование потенциала

приводит к изменению

Тогда решение (3.6.21) также преобразуется:

Это преобразование представляет собой поворот вектора вокруг третьей оси.

Уравнения для -скорости частицы можно записать в виде

где эффективный заряд. Эти уравнения, очевидно, совпадают с уравнениями для заряда в электродинамике, рассмотренными выше в гл. II. Пусть в начальный момент тогда решения уравнений (3.6.22) будут таковы:

где Они описывают вращение вокруг оси в собственном времени с частотой со. В то же время частота вращения цвета (3.6.20) в выбранной нами калибровке будет равна

Эта величина зависит от собственного времени. Поэтому прецессия цвета не будет равномерной. Рассмотрим соответствие пространственного и цветового движений. Пусть по пространственной траектории заряд совершает один оборот, а цветовой вектор поворачивается вокруг третьей оси раз Тогда

где Это уравнение представляет собой условие -кратного отображения окружности в координатном пространстве на окружность, описываемую концом вектора цвета в групповом пространстве. Вычисляя интеграл в (3.6.25), получим

Число может рассматриваться как топологический заряд, причем это число определяет энергию поперечного движения частицы в магнитном поле: Отметим, что условие кратности отображения (3.6.26) совпадает с известным условием квантования поперечного импульса частицы с зарядом в магнитном поле.