Глава II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

§ 1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Система уравнений, описывающих эволюцию электрического и магнитного полей в пространстве при заданных плотности заряда и плотности тока имеет вид

Уравнения (2.1.1) — (2.1.4) носят название уравнений Максвелла в трехмерной форме, и в этом виде они используются при решении большинства задач классической электродинамики. Однако в ряде случаев, в частности при исследовании закона преобразования полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, значительно более удобной является так называемая четырехмерная форма записи уравнений Максвелла.

Прежде всего из компонент векторов построим антисимметричную -матрицу следующим образом:

Тогда непосредственной проверкой легко установить, что введение матрицы позволяет переписать уравнения (2.1.1) и (2.1.2) в виде

где введено следующее обозначение:

При этом уравнения (2.1.3) и (2.1.4) принимают вид

В этом уравнении -символ Леви — Чивита, который определяется следующим образом:

Можно показать, что величина ецтог преобразуется как тензор при собственных преобразованиях Лоренца. При несобственных преобразованиях компоненты тензора должны были бы изменить знак, в то время как знаки по определению не меняются. Поэтому является, как говорят, псевдотензором.

Покажем, что введенный в (2.1.7) упорядоченный набор чисел является -вектором. Рассмотрим систему частиц с зарядами положение которых в момент времени задается радиусами-векторами . В этом случае плотность заряда и плотность тока определяются следующим образом:

Здесь — дельта-функция Дирака.

С учетом определения (2.1.7) запишем (2.1.10) и (2.1.11) в виде

Чтобы показать, что это -вектор, заметим, что выражение (2.1.12) тождественно следующему выражению:

Дельта-функция является скаляром, -вектором, поэтому представляет собой -вектор. Этот факт позволяет ответить на вопрос: каким образом преобразуются компоненты электрического и магнитного полей при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую? Действительно, правая часть уравнения (2.1.6) есть -вектор, поэтому -вектором является его левая часть, т. е. величина Но в таком случае представляет собой контравариантный тензор второго ранга (это является следствием хорошо известной в тензорной алгебре теореме о частном). Следовательно, при преобразованиях Лоренца компоненты преобразуются следующим образом:

т. е. нахождение связи компонент векторов в различных лоренцевых системах отсчета сводится к выполнению небольшого числа алгебраических операций. В частности, если

преобразование Лоренца не сопровождается изменением ориентации осей системы координат, как это было в случае специальных преобразований (1.1.15), то с помощью (2.1.14) и (2.1.5) мы получим следующий результат:

В формулах (2.1.15) введены следующие обозначения:

аналогично определены и

В связи с изложенным следует остановиться на вопросе об инвариантах электромагнитного поля. Инвариантами поля называются величины, составленные из компонент электрического и магнитного полей и остающиеся неизменными при преобразованиях Лоренца. Инварианты полянам потребуются в следующем параграфе при построении выражения для действия свободного электромагнитного поля. Вид инвариантов устанавливается наиболее просто, если исходить из представления электромагнитного поля с помощью антисимметричного -тензора Для этого нужно найти все нетривиальные скаляры, которые можно построить из компонент . Одним из таких инвариантов является скалярный квадрат тензора т. е. величина

Второй независимый инвариант может быть построен путем сворачивания с дуальным ему тензором:

Если воспользоваться определением (2.1.5), то нетрудно выразить инварианты (2.1.16) и (2.1.17) непосредственно через компоненты напряженностей

Найденные величины по-разному ведут себя при отражениях пространственных или временной оси. Выражение (2.1.16), т. е. разность является истинным скаляром, в то время как произведение на дуальный тензор (2.1.17), равное учетверенному скалярному произведению представляет собой псевдоскаляр. Последнее утверждение является следствием псевдотензорного характера величины Это значит, что скалярное произведение меняет знак при отражении трех пространственных или временной оси.

Преобразование полей при переходе от одной системы отсчета к другой делает естественной постановку задачи о нахождении инерциальной системы отсчета, в которой заданная конфигурация полей преобразуется к наиболее простому виду. Единственные ограничения, которые здесь возникают, связаны с существованием инвариантов электромагнитного поля. Из инвариантности выражений (2.1.18) следует, что если поля равны по модулю или ортогональны в некоторой системе отсчета, то это будет выполняться и во всякой другой инерциальной системе отсчета. Инвариантным является знак неравенств или . И кроме того, преобразованием четырехмерной системы координат невозможно острый угол между векторами сделать тупым или наоборот. В ряде приложений можно существенно упростить задачу, если обратить одно из полей в нуль. Из сказанного выше следует, что это возможно, только если в исходной системе отсчета поля были ортогональны. При этом обратить в нуль можно лишь то из полей или чей модуль меньше.

Вернемся к системе уравнений Максвелла (2.1.1) — (2.1.4). Последние два из них фактически лишь позволяют уменьшить число неизвестных функций с шести (по три компоненты для каждого из векторов Ей до четырех введением так называемых скалярного и векторного А потенциалов:

При этом уравнения (2.1.3) и (2.1.4) обращаются в тождества, а нетривиальные уравнения получаются при подстановке (2.1.19) в (2.1.1) и (2.1.2). Получим эти уравнения сразу в релятивистски инвариантном виде.

Выразим компоненты тензора электромагнитного поля через потенциалы . Введем обозначение

тогда из (2.1.19) и (2.1.5) мы получим, что тензор может быть представлен в виде

Из полученного соотношения следует, что величины представляют собой компоненты контравариантного -вектора (здесь можно сослаться на упоминавшуюся выше теорему о частном). Этот -вектор называют -потенциалом электромагнитного поля. Равенство (2.1.21) говорит еще и о том, что -потенциал электромагнитного поля определен неоднозначно. Действительно, выражение (2.1.21), очевидным образом, инвариантно относительно преобразований вида

где произвольная дифференцируемая скалярная функция. В трехмерных обозначениях преобразования (2.1.22) имеют вид

Таким образом, величины, которые являются наблюдаемыми в классической электродинамике, должны быть инвариантными относительно преобразований (2.1.22), (2.1.23). Эти преобразования носят название градиентных, или калибровочных преобразований. Ниже мы увидим, что калибровочная инвариантность электромагнитного поля тесно связана с законом сохранения заряда.

Уравнение, которому удовлетворяет -потенциал получается после подстановки выражения для тензора электромагнитного поля (2.1.21) в уравнение (2.1.6):

Полученное уравнение можно существенно упростить, если, воспользоваться инвариантностью электродинамики относительно калибровочных преобразований (2.1.22). Выберем в качестве функции какое-либо решение уравнения

Нетрудно увидеть, что в этом случае преобразованный потенциал будет удовлетворять условию

О потенциалах, для которых выполняется равенство (2.1.25), говорят как о потенциалах в лоренцевой калибровке. В трехмерных обозначениях это условие имеет вид

Компоненты -потенциала в лоренцевой калибровке удовлетворяют неоднородному волновому уравнению

которое в отсутствие зарядов и токов превращается в уравнение Даламбера

Калибровка Лоренца все еще не фиксирует -потенциал однозначно. Усилие (2.1.25) не будет нарушаться при калибровочных преобразованиях (2.1.22), если только функция удовлетворяет уравнению

Мы воспользуемся этой дополнительной свободой в выборе потенциалов электромагнитного поля в параграфе, посвященцом, электромагнитным волнам.

Можно показать, что уравнения Максвелла содержат в себе закон сохранения заряда. Для этого вычислим четырехмерную дивергенцию от обеих частей уравнения (2.1.6). Дивергенция левой части обращается тождественно в нуль в силу антисимметричности тензора поля и мы получаем равенство

которое в трехмерных обозначениях имеет вид

Полученное равенство представляет собой дифференциальную форму закона сохранения заряда. Действительно, проинтегрируем обе части (2.1.30) по некоторому произвольному объему V трехмерного пространства. Интеграл от первого слагаемого по теореме Гаусса преобразуем в поток вектора через охватывающую объем замкнутую поверхность, получим

Полученное равенство означает, что изменение заряда в заданном объеме равно со знаком минус заряду, прошедшему через ограничивающую объем замкнутую поверхность. Иными словами, ни в одной точке пространства заряды не рождаются и не исчезают.