§ 12. ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЕЙ

Получим общее выражение для полной потери -импульса заряженной частицы на электромагнитное излучение.

Воспользуемся соотношением (2.6.7), которое представляет собой дифференциальную форму закона сохранения -импульса для системы зарядов и электромагнитного поля. Интегрируя это равенство по некоторому объему в четырехмерном пространстве и преобразуя по теореме Гаусса интеграл по Объему от дивергенции тензора энергии-импульса

электромагнитного поля в интеграл по охватывающей -объем трехмерной гиперповерхности , мы получим

Выберем в качестве область -пространства, заключенную между двумя гиперповерхностями Тогда, предполагая, что в пространственно подобных направлениях поле достаточно быстро обращается в нуль, мы преобразуем левую часть (2.12.1) к следующему виду:

Стоящая в правой части разность есть изменение -импульса электромагнитного поля за рассматриваемый промежуток времени. Устремляя , мы получаем окончательное выражение для полного -импульса, излученного системой зарядов:

В (2.12.2) интеграл вычисляется по всему четырехмерному пространству.

Приведем это выражение к более удобному виду. Разложим тензор поля и четырехмерную плотность тока в интеграл Фурье

Подставим (2.12.3) и (2.12.4) в (2.12.2) и выполним интегрирование по координатам с помощью соотношения

После этого проинтегрируем по волновому -вектору с помощью -функции:

При получении этого выражения мы воспользовались тем, что в силу вещественности тока имеет место равенство

Заметим также, что закон сохранения заряда

накладывает еще одно ограничение на

Выражая тензор поля через -потенциал согласно (2.1.21), мы получаем, что соответствующие Фурье-образы должны быть связаны соотношением

Равенство (2.12.7) с учетом (2.12.6) позволяет записать выражение для полной потери -импульса в следующем виде:

В (2.12.8) в качестве мы должны подставить Фурье-образ запаздывающего решения волнового уравнения, который в соответствии с (2.10.3) можно представить в виде

где -образ запаздывающей функции Грина. Таким образом, мы получаем выражение

В § 10 было показано, что Фурье-образ можно записать в виде разности

причем

Мы видим, что при подстановке выражения (2.12.11) в (2.12.10) вклад от обращается в нуль в силу нечетности соответствующей подынтегральной функции по Ненулевой вклад дает функция т. е. полуразность запаздывающего и опережающего решений. Учитывая четность подынтегрального выражения как функции переменной мы находим окончательное выражение для полного излученного системой -импульса:

Форма, в которой представлен результат в явно указывает на то, что величина является -вектором. Поскольку результат представлен в виде интеграла в пространстве волновых -векторов, то формула (2.12.12) дает спектрально угловое распределение излученного -импульса. Запишем ее в более удобном для выполнения конкретных вычислений виде.

Выполняя в (2.12.12) интегрирование по с помощью формулы (см. (2.10.11))

где введено обозначение и записывая элемент объема в пространстве волновых векторов в виде мы получим

Формула (2.12.13) дает выражение для -импульса, излученного в единичный телесный угол в направлении в единичном интервале частот вблизи частоты за все время движения.

Эта величина представляет интерес в тех случаях, когда время, в течение которого ускорение частицы отлично от нуля, относительно мало. К таким задачам, в частности, относится задача об излучении, сопровождающем столкновения заряженных частиц. Это излучение носит название тормозного.

Однако в ряде случаев возникает необходимость вычисления других характеризующих процесс излучения величин, таких, как интенсивность излучения или скорость потери -импульса заряженной частицей.

Как было показано в § 6, 4-импульс, теряемый излучающей системой, в единицу времени равен

где интегрирование ведется по поверхности сферы бесконечно большого радиуса.

Чтобы найти явный вид тензора энергии-импульса электромагнитного поля движущейся заряженной частицы, воспользуемся выражением (2.11.10) для тензора поля Подставляя (2.11.10) в (2.5.4), после несложных вычислений мы получаем тензор в следующем виде:

Поскольку в (2.12.14) интегрирование ведется по сфере бесконечно большого радиуса, то ненулевой вклад в интеграл

дадут только те члены в (2.12.15), которые на больших расстояниях убывают как Учитывая, что при с точностью до членов

Подставляя выражение (2.12.16) в (2.12.14), мы получаем выражение для углового распределения 4-импульса, излучаемого частицей в единицу лабораторного времени

При соответствующая величина носит название углового распределения интенсивности излучения и обозначается Используя (2.12.17) и переходя к трехмерным обозначениям, мы можем получить для нее следующее выражение:

Рассмотрим подробнее угловое распределение интенсивности излучения в двух частных случаях. В случае малой скорости частицы, пренебрегая в (2.12.18) членами порядка по сравнению с единицей, мы получим

Это хорошо известная формула для интенсивности так называемого дипольного излучения. Излучение обладает осевой симметрией вокруг направления ускорения и максимально в направлении, перпендикулярном

В ультрарелятивистском случае, т.е. когда угловое распределение интенсивности имеет ярко выраженный максимум в направлении мгновенной скорости частицы. Излучение сосредоточено в узком конусе с раствором (это можно показать, исследовав выражение (2.12.17) в области малых углов). Эта особенность излучения релятивистской частицы приводит к заметной потере импульса, т. е. требует учета силы радиационного трения при исследовании движения релятивистских заряженных частиц.