§ 5. МОНОПОЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЯНГА — МИЛЛСА

а) Самодуальный монополь.

Рассмотрим векторное поде, описываемое лагранжианом

Этот лагранжиан не обладает калибровочной симметрией, однако в пределе симметрия лагранжиана восстанавливается. Вакуум определяется условием

поэтому в указанном выше пределе решение остается несимметричным, демонстрируя тем самым спонтанное нарушение симметрии, аналогично хиггсовской модели. Обе модели, т. е. модель Хиггса и модель (3.5.1), как легко заметить, математически эквивалентны, если установить соответствие

и рассматривать статические решения, Тогда

Будем теперь искать решения для этих моделей в рамках принятого анзаца и Янга, причем ограничимся вначале самодуальными (антисамодуальными) решениями

Это условие имеет смысл лишь для последней модели (3.5.1), в модели же Хиггса оно соответствует условию

Вычисляя компоненты хромомагнитного и хромоэлектрического полей

получим, что условие (3.5.4), т. е. будет удовлетворено, если

Это и есть уравнения, которые необходимо решить, подчинив их следующим условиям, обеспечивающим спонтанное нарушение симметрии:

где кроме того, необходимо удовлетворить условиям конечности полей при Соответствующие решения, как нетрудно проверить, таковы:

Асимптотические условия при выполняются, так как

при этом

Согласно (3.5.6) и (3.4.17) найдем компоненты напряженностей электрического и магнитного полей:

В асимптотическом режиме, имеем

что соответствует магнитному полю монополя с зарядом . В модели Хиггса электрическое поле отсутствует, а хиггсовское поле имеет асимптотику, нарушающую симметрию:

Перейдем теперь к унитарной калибровке:

Как видно, поперечные компоненты поля обращаются в нуль, а продольная представляет собой потенциал монополя в электродинамике с магнитным зарядом

Найдем энергию монополя

Здесь учтено, что Пусть тогда и энергию запишем в виде

Последнее слагаемое под знаком интеграла представляет собой дивергенцию

а первое обращается в нуль в силу условия самодуальности. Итак, для энергии самрдуального монополя находим

где для самодуального решения. Условие самодуальности обеспечивает минимум интеграла (3.5.11), т. е. самодуальный монополь из всех возможных полевых конфигураций вида (3.4.7) обладает наименьшей энергией.

б) Монополь Тоофта-Полякова.

Рассмотрим тот же анзац

и ищем решения уравнений при произвольных Подставляя (3.5.13) в (3.2.20), где в правой части добавляется ток, определяемый хиггсовым полем, получим уравнения

Потребуем, чтобы при выполнялось асимптотическое условие

Тогда согласно уравнениям будучи решением уравнения

а именно Найдем отклонение от линейного закона

Подставляя в уравнение, находим асимптотическое поведение

где С — некоторая константа.

Итак, на пространственной бесконечности решение уравнений (3.5.14) при условии (3.5.15) имеет вид

Здесь первое слагаемое описывает постоянное вакуумное решение (так называемый «конденсат»), а второе слагаемое — «отклонения от «его (так называемые «возбуждения»). Удобнее рассмотреть полученные асимптотики в унитарной (струнной) калибровке. Тогда отличная от нуля компонента возбуждения, которую мы обозначим ведет себя как

а поперечные компоненты поля Янга — Миллса убывают как

В то же время продольная компонента

как уже отмечалось выше, описывает дираковский монополь. Обе асимптотики (3.5.17) и (3.5.18) являются решениями уравнения вида

где равно соответственно Это уравнение является статическим пределом уравнения Клейна — Гордона, причем представляет собой массу соответствующих частиц. Таким образом, возбуждения хиггсовского поля, используя квантовую терминологию, отвечают частицам с массой а поперечные компоненты калибровочного поля — векторным частицам с массой Как видно, спонтанное нарушение симметрии в решении привело к появлению массы у двух компонент калибровочного поля, которые в симметричном случае оставались бы безмассовыми.

Рассмотрим поведение полей в начале координат. Пусть Тогда

и при имеем где -некоторая константа. Следовательно, При этом также и Характер убывания следует из того, что при малых

некоторая константа). Поэтому

Связь асимптотик при определяется уравнениями полей, однако точного решения в явном аналитическом виде найти не удается. Окончательно представим характер решения Тоофта — Полякова в разных областях переменной При имеем т. е. поле Хиггса отсутствует, однако имеется постоянное магнитное поле так как в этой области При возникает поле Хиггса, выходящее затем при на постоянную асимптотику:

Оно имеет характерную радиальную направленность и постоянное, не зависящее от углов значение, за что и получило образное название «ежа» Полякова. В области поперечные компоненты калибровочного поля убывают экспоненциально и поглощаются хиггсовским полем а дальнодействующая продольная компонента проникает через конденсат и описывает с точки зрения бесконечно удаленного наблюдателя монополь Дирака помещенный в начале координат.

Рассмотрим теперь энергию монопольного решения, определяемую формулой (3.5.11):

где Ясно,что

При этом можно показать, что энергия решения Тоофта — Полякова конечна, так как интеграл (3.5.21) сходится. На бесконечно удаленной сфере, как только что было продемонстрировано, остаются только чистый дираковский монополь и хиггсовский конденсат. Поэтому

Вспомним, что масса векторного поля, и тогда

Для того чтобы оценить величину минимальной энергии монополя (3.5.24), необходимо придать численные значения входящим в нее величинам, выбрав определенную систему единиц. Напомним, что выше в гл. I мы интерпретировали плосковолновые решения уравнения поля как волны Дебройля, соответствующие частицам — квантам этого поля. Подобная интерпретация последовательно может быть проведена лишь в квантовой:

теории, и поэтому последовательная интерпретация формулы для энергии монополя (3.5.24) также возможна лишь в квантовой теории. Тем не менее в рамках подхода, примененного в гл. I, мы можем принять энергию монопольного решения (3.5.22) — (3.5.24) за энергию соответствующей квантовой частицы-монополя.

Как было показано, абелева теория поля — электродинамика — получается в рассматриваемой нами симметричной модели в результате спонтанного нарушения симметрии При этом мы можем отождествить константу взаимодействия модели с электрическим зарядом электрона Эта модель в целом не соответствует действительности, так как не отражает всех особенностей взаимодействия элементарных частиц. В настоящее время принята так называемая стандартная модель, в основу которой, согласно Вайнбергу и Саламу, положена более широкая группа симметрии: Эта модель объединяет два взаимодействия: слабое, ответственное за распады элементарных частиц (например, бета-распад нейтрона), и электромагнитное. После спонтанного нарушения указанной симметрии эти взаимодействия разделяются, при этом возникают два сорта векторных частиц: так называемые векторные бозоны и фотоны. Векторные бозоны образуют расщепленный триплет группы причем нарушение симметрии проявляется в различии их массы. Заряженные бозоны имеют массу порядка а нейтральный -бозон — массу Эти частицы являются переносчиками слабых взаимодействий между элементарными частицами. Фотон же после нарушения симметрии остается безмассовым. В рассматриваемой нами модели заряженные векторные бозоны составляются из поперечных компонент (в унитарной калибровке):

и после нарушения симметрии приобретают массу Продольная компонента остается безмассовой. Она и отвечает нейтральному векторному полю фотонов — электромагнитному (максвелловскому) полю.

С этой точки зрения можно оценить массу (энергию; монополя, определяемую формулой (3.5.24). Действительно, масса частицы это есть ее энергия покоя в единицах Восстанавливая в формуле (3.5.24) обычные единицы, в которых для скорости света с и постоянной Планка следует принять их известные значения (см. гл. I), получим

Безразмерная комбинация мировых констант входящая в последнюю формулу, называется постоянной

тонкой структуры (терминология взята из атомной физики) к имеет следующее экспериментальное значение:

Таким образом,

Если для принять значение массы -бозона то из последней формулы можно судить о возможном масштабе массы монополя. Следует отметить, что до настоящего времени экспериментально частицы-монополи не обнаружены.

Остановимся еще на вопросе о различии монопольного решения со спонтанным нарушением симметрии и монополя Дирака в электродинамике. Потенциал монополя в электродинамике вида

создает магнитное поле кулоновского типа

Потенциал (3.5.26) сингулярен вдоль линии т. е. вдоль отрицательной полуоси Физически эта своеобразная нить сингулярности может рассматриваться как предел бесконечно длинного и тонкого соленоида, тянущегося из начала координат в бесконечность. Окружая такой магнитный заряд сферой, мы получим особенность на южном полюсе этой сферы. Потенциал регулярен на всей поверхности сферы, за исключением точки Таким образом, поверхность становится неодносвязной, и эта топологическая особенность находит свое проявление в том, что интеграл

по замкнутому контуру С, проведенному вокруг точки сингулярности, отличен от нуля. По теореме Стокса

поверхность сферк без малого участка этой сферы ограниченного контуром С и (содержащего точку сингулярности, Дополняя эту поверхность до полной сферы и принимая во внимание, что магнитное поле на участке не имеет сингулярности, получим

Стягивая контур в точку, тем не менее получим конечное значение интеграла за счет сингулярности потенциала в этой точке.

Таким образом, в электродинамике монопольные решения получаются ценой введения сингулярных вдоль нити (или «струны») потенциалов. В модели со спонтанно нарушенной симметрией в исходном анзаце (3.4.7) моноиольные решения несингулярны. Лишь в результате калибровочного преобразования, которое само является сингулярным, в унитарной, или струнной, калибровке потенциал приобретает ту самую сингулярность, которая свойственна дираковским монополям.

Дирак показал, что магнитный заряд монополя может принимать лишь дискретные значения:

где видно, рассмотренное нами решение отвечает дираковскому монополю при

Сделаем еще замечания относительно полученного решения Тоофта — Полякова с точки зрения топологии. Основное требование, положенное в основу решения, — это нарушение симметрии вследствие асимптотического условия

Это условие представляет собой отображение сферы бесконечного радиуса на сферическую поверхность единичного радиуса группового пространства, т. е.

Как видно, одному обходу поверхности исходной сферы соответствует также один обход, т. е. покрытие единичной сферы. Вообще говоря, возможно любое число покрытий при подобных отображениях. Кратность покрытия носит название топологического заряда Если отображение происходит не на всю сферу, а только на часть ее, хотя бы отличающуюся от всей сферы наличием одной выколотой точки, то в этом случае Действительно, такая поверхность может быть непрерывным образом деформирована в точку.

Таким образом, с этой точки зрения все возможные решения могут быть разбиты на классы, так называемые классы эквивалентности. Внутри данного класса все решения топологически эквивалентны, так как могут быть путем деформаций непрерывным образом преобразованы одно в другое. Каждый класс эквивалентности имеет свой топологический заряд Так, для рассмотренного нами монополя Тоофта — Полякова Переход от одного класса эквивалентности к другому сопровождается изменением топологического числа связанным с изменением топологии и сопровождаемым скачкообразным изменением энергии. Заметим, что переход к унитарной калибровке, меняет характер отображения, поскольку сфера

теперь отображается в точку, находящуюся на полюсе. Поэтому в этой калибровке решение обладает топологическим зарядом нуль, Это изменение топологии решения связано с тем, что калибровочное преобразование является само по себе разрывным и приводит к потенциалам, имеющим нить сингулярностей. Тем не менее энергия решения при этом не меняется. Заметим, что точное значение энергии монополя Тоофта — Полякова может быть вычислено на ЭВМ и имеет вид

где С изменяется от 1 до 1,8 при изменении от нуля до бесконечности.

Аналогично можно показать, что и в модели великого объединения (группа в которой объединяются слабое, электромагнитное и сильное взаимодействия, существуют монопольные решения. Их масса оказывается чрезвычайно большой, порядка Монополь великого объединения, если он существует, должен проявить себя через воздействие на ядерную материю. В. А. Рубаков в 1981 г. показал, что монополь катализирует распад протона, предсказываемый моделями великого объединения и обусловленный переходами кварков в лептоны.