§ 2. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ КИНЕМАТИКА

а) Собственное время. Рассмотрим обратное преобразование Лоренца

где как и прежде, обозначает скорость системы отсчета К в единицах скорости света. Пусть соответствует координате часов в движущейся системе, причем часы эти в ней покоятся, т. е. Тогда согласно (1.2.1) интервалы времени в лабораторной системе — в подвижной системе оказываются связанными соотношением

Получим этот результат по-другому. Определенный выше интервал является в то же время и элементом дуги мировой линии частицы Пусть частица движется по некоторой мировой линии по некоторому Тогда в каждьйй момент времени можно связать с этой частицей инерциальиую систему отсчета, движущуюся с той же скоростью, что и частица . В этой системе Для интервалов можем написать

так как Тогда

Время, измеренное в системе покоя частицы, называется собственным временем. Как видно, связь между интервалами собственного времени и лабораторного времени совпадает с выведенным ранее другим способом соотношением Вместе с тем из (1.2.4) следует, что собственное время является релятивистским инвариантом Вводя для этого инварианта, т. е. для собственного времени, специальное обозначение запишем конечный интервал собственного времени

Из определения собственного времени следует, что интервал собственного времени всегда меньше интервала лабораторного времени, т. е. время для движущегося объекта течет медленнее, чем для наблюдателя. Одним из проявлений этого закона релятивистской кинематики является то, что быстролетящие нестабильные элементарные частицы успевают, не распавшись, пролететь достаточное для наблюдения за ними время. При этом чем ближе их скорость приближается к скорости света, тем дольше они успевают пролететь до того, как распадутся. Заметим также, что введенная выше мировая линия в силу соотношения (1.2.5) между может быть параметризована инвариантным образом, используя собственное время.

б) Собственная длина. Пусть в движущейся системе К покоится линейка длины расположенная вдоль оси так что где координаты концов линейки. Если и (2) — координаты концов этой линейки, измеренные в лабораторной, т. е. неподвижной, системе отсчета в момент времени то в силу преобразований Лоренца имеем следующую связь

Отсюда находим, что длина линейки в лабораторной системе и в движущейся системе связаны соотношением

Назовем длину объекта, измеренную в той системе, где он покоится, собственной длиной. Как видно из последнего равенства, собственная длина всегда больше видимой длины

т. е. линейные размеры движущегося объекта сокращаются. Подчеркнем, что речь идет о размерах, измеренных вдоль направления движения объекта. Поперечные размеры не изменяются. Соотношения для собственной длины (1.2.7) и для собственного времени (1.2.2), как видно, носят обратный характер. Перемножая их, получим

Тогда с учетом неизменности поперечных размеров для элемента объема, т. е.

для элемента объема -пространства Минковского получим

т. е. элемент -объема есть инвариант преобразований Лоренца, или релятивистский инвариант.

в) Релятивистское сложение скоростей. Определением скорости частицы является Поэтому в подвижной системе, относительно которой в свою очередь движется частица, будем иметь Пусть система движется вдоль, оси со скоростью Тогда

Учитывая обратные преобразования Лоренца

получим

Аналогично для поперечных компонент скорости за счет преобразования времени находим

Полученные формулы (1.2.10), (1.2.11) и определяют релятивистский закон сложения скоростей. При эти формулы дают обычный нереляивистский закон сложения скбростей, отвечающий преобразованиям Галилея

где мы опустили малые члены порядка что формально отвечает предельному переходу Пусть

тогда вектор скорости в обеих системах лежит в плоскостях Введем угол наклона вектора скорости и соответственно в подвижной системе — угол

Тогда с помощью (1.2.11) получим следующую связь углов в :

Интересный частный случай применения последней формулы получается, если мы рассмотрим распространение света, когда . В этом случае

Как видно, угол распространения луча света зависит от скорости движения источника относительно наблюдателя. Это явление носит название аберрации. Из (1.2.13) следуют

Рассмотрим два частных случая. Пусть т. е. скорость источника или наблюдателя мала. Такой случай как раз имеет место при наблюдении звезд с поверхности движущейся Земли.

Пусть угол падения луча от звезды, видимой в системе, связанной со звездами, а угол падения луча, наблюдаемого на поверхности Земли. Бели то и согласно (1.2.13) имеем

т. е.

— формула для аберрации света звезд на поверхности Земли. Согласно этой формуле звезда, находящаяся в данный момент в зените, видна вследствие движения Земли под углом, несколько отличающимся от

В случае ультрарелятивистских скоростей т.е. согласно (1.2.13), (1.2.14) имеем т. е. при движении наблюдателя со скоростью, близкой к скорости света, практически все звезды (кроме тех, которые находятся строго позади, видны находящимися впереди по движению наблюдателя. Точно так же если источник движется со скоростью то излучаемый им свет собирается впереди в узком конусе с осью вдоль направления движения и с раствором . Этот

своеобразный «прожекторный эффект» является характерным признаком излучения частиц высокой энергии.

г) Эффект Доплера. Рассмотрим теперь изменение частоты света за счет движения источника — эффект Доплера. Заметим, что частота света со, как и его волновой вектор к, является характеристикой плоской монохроматической волны (см. ниже). Частота связана с периодом волны соотношением а волновой вектор к указывает направление распространения волны и связан с ее длиной волны А, соотношением

Подобная волна математически описывается функцией вида (см. ниже)

Фаза волны от которой по существу зависит эта функция, должна быть релятивистским инвариантом, так как в противном случае это противоречило бы принципу относительности (забегая вперед, скажем, что этот вывод является следствием релятивистской инвариантности уравнений Максвелла). Поскольку то со вместе с вектором к, подобно должны образовывать -вектор

имеющий нулевую длину (изотропный вектор), т. е. Теперь мы можем применить к -вектору преобразования Лоренца. Если источник, с которым связана система отсчета, движется со скоростью V, то для имеем

Пусть т. е. источник движется вдоль оси а луч света идет к наблюдателю под углом а к оси Тогда

Естественно определить частоту излучения источника в системе его покоя, т. е. как собственную частоту источника: инвариантная величина. Итак, окончательно находим

- частота излучения, видимого под углом а к направлению движения источника. Если т. е. то из (1.2.17) имеем

При (наблюдение ведется навстречу движения) частота увеличивается, а при (наблюдение вдогонку источника) частота уменьшается. При

т. е. частота также уменьшается.

д) 4-скорость и 4-импульс. Как видно из формул сложения скоростей (1.2.10), (1.2.11), скорость не является компонентой -вектора. Определим с компонентами

т. е. вектор единичный. Этот вектор называется -ско ростью. В пределе пренебрегая получим Поскольку то, дифференцируя, найдем

Если ввести -ускорение то, как видно из (1.2.19), оно ортогонально -скорости:

Введем теперь четырехмерное обобщение вектора импульса. При как уже указывалось, Нерелятивистский импульс где — масса частицы. Введем -им-пульс, умножив вектор -скорости на

или

Пусть тогда, раскладывая в ряд, запишем

С точностью до константы эта величина представляет собой нерелятивистскую кинетическую энергию частицы. Постоянное слагаемое есть внутренняя энергия частицы, т. е. так. называемая собственная энергия, или энергия покоя частицы,

которая остается у нее и при и высвобождается лишь при яревращениях частиц. Естественно назвать величину

релятивистской энергией частицы. Она включает в себя как внутреннюю энергию покоя, так и энергию движения частицы. Релятивистский импульс частицы определяется формулой Составим квадрат -импульса

Таким образом, т. е. -вектор времениподобный. Заметим, что масса частицы — релятивистский инвариант. Из уравнения (1.2.23), разрешая его относительно энергии находим

— уравнение, связывающее релятивистскую энергию и импульс частицы. При т. е. в системе покоя частицы, ее энергия равняется собственной энергии.