§ 4. СПОНТАННОЕ НАРУШЕНИЕ СИММЕТРИИ

Характерным отличием уравнений поля Янга — Миллса от уравнений Максвелла является их нелинейный характер, что связано с некоммутативностью потенциалов и соответственно нелинейной зависимостью тензора поля от потенциалов. Поля Янга — Миллса обладают самодействием, что приводит к возникновению нетривиальных решений соответствующих уравнений. Прежде чем познакомиться с некоторыми из этих решений, рассмотрим некоторые общие соображения. Введем модель Хиггса, описываемую лагранжианом

где скалярное поле, образующее присоединенное представление группы Удлиненная производная в этом представлении определена согласно равенству

а потенциальную энергию выберем в виде (см. гл. I)

Рис. 3.1

Выписанный лагранжиан (3.4.1) симметричен относительно преобразований группы Тем не менее физические решения нарушают эту симметрию, что связано с наличием потенциала Хиггса Рассмотрим статические решения модели Хиггса, т. е. считаем Примем физическое требование, состоящее в том, что на пространственной бесконечности энергия полей обращается в нуль:

Это есть определение вакуума в классической теории по аналогии с квантовой теорией, где решения с минимальной энергией называются вакуумными. При получаем вакуумное решение

т. е. на бесконечности поле Хиггса не обращается в нуль. Пространство вакуумов в групповом пространстве образует сферу радиуса При этих значениях поля, т. е. на вакуумной сфере, потенциальная энергия имеет минимум (рис. 3.1). Выбор конкретного вакуума

нарушает симметрию, так как он сводится к выбору конкретного направления Этот выбор снижает исходную симметрию лагранжиана до остаточной симметрии которой обладает решение, удовлетворяющее условию (3.4.5) с определенным значением Остаточная симметрия состоит в неизменности вектора при преобразованиях Это явление носит название спонтанного нарушения симметрии.

Покажем, что решение с условием (3.4.5) обладает группой симметрии вакуума Рассмотрим локальное преобразование

Пусть Тогда

и если при то решение действительно обладает той же симметрией что и вакуум.

В дальнейшем будем рассматривать статические решения модели Хиггса при условии При этом

ограничимся решениями специального вида, задаваемыми анзацем и Янга:

Здесь индексы — групповой, — пространственный, радиус-вектор, неизвестные функции. Принятие анзаца (3.4.7), очевидно, ограничивает класс решений нелинейных уравнений полей и

Заметим, что в уравнения Янга — Миллса в отличие от уравнений Максвелла явно входят потенциалы, и поэтому при их решении необходимо выбрать определенную калибровку. Особую роль в теории полей Янга — Миллса играет так называемая унитарная, или струнная, калибровка. Смысл этого названия будет ясен из дальнейшего. Эта калибровка определяется Тем, что третья ось группового пространства в каждой точке ориентируется вдоль радиуса-вектора ориентация которого задана сферическими углами Тогда оператор соответствующего поворота в групповом пространстве имеет вид

где орт сферической системы координат, вторая часть равенства доказывается разложением экспоненты в ряд с использованием свойств матриц Паули (3.2.24). Очевидно, что вектор испытывает чистый поворот, и мы получаем после преобразования (3.4.8)

а потенциал подвержен повороту и градиентному преобразованию

Глобальный поворот, т. е. дает

Отсюда получаем следующие отличные от нуля компоненты в сферических координатах с ортами ее и

где Учитывая, что угловая часть оператора Д'Аламбера равна

найдем

Складывая (3.4.11) с (3.4.12), получим потенциал в унитарной калибровке

или по компонентам в групповом пространстве

Как было показано выше, группа преобразований

является группой симметрии решений Тогда можно ввести «абелевы» потенциал и тензор ноля

для абелевой подгруппы :

В унитарной калибровке (3.4.9) результат (3.4.14) дает для абелевых потенциалов

Полученный потенциал определяет радиальное магнитное поле кулоновского вида

Такое поле создает магнитный заряд величины (моно-поль Дирака). Как видно, соответствующий потенциал сингулярен вдоль линии . К подобным особенностям потенциалов в электродинамике приводят решения уравнений с источниками типа магнитных зарядов — монополей. Заметим, что эта сингулярность в унитарной калибровке появилась в результате проведения сингулярного калибровочного преобразования исходных потенциалов (3.4.2).