Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 13. СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦАВзаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем порождает целый ряд трудностей как в классической, так и в квантовой теории. Первая из них связана с определением собственной энергии, т. е. энергии взаимодействия заряженной частицы с собственным электростатическим полем. Простые соображения, основанные на анализе размерностей, позволяют утверждать, что собственная энергия заряда Если частица движется ускоренно и, следовательно, излучает, возникает проблема правильного учета ее взаимодействия с собственным полем излучения. Действительно, как нам известно, электромагнитное излучение сопровождается потерей импульса. Это приводит к тому, что на частицу действует сила реакции излучения. Процесс излучения влияет на динамику излучающей системы, и это должно найти свое отражение на уровне динамических уравнений. Здесь мы воспроизведем вывод хорошо известного в классической электродинамике уравнения Дирака — Лоренца, которое позволяет осуществить такой учет в случае, когда рассматривается движение точечного заряда во внешнем электромагнитном поле Возьмем за основу полученное в § 3 уравнение движения точечного заряда
При выводе этого уравнения из вариационного принципа предполагалось, что поле
где в правой части стоит сумма внешней силы
и силы самодействия
Потенциал собственного поля частицы находится как запаздывающее решение волнового уравнения
и с учетом соотношения (2.10.3) может быть записан в виде
В соответствии с этим мы получаем следующее выражение для тензора собственного поля частицы:
В § 10 мы показали, что запаздывающая функция Грина может быть релятивистски инвариантным образом разбита на сумму двух слагаемых:
первое из которых есть полусумма опережающего и запаздывающего решений, а второе — их разность. Ниже мы увидим, что это разбиение позволяет инвариантным образом разделить два упоминавшихся в начале параграфа эффекта — перенормировку массы частицы и эффект радиационного торможения. Для введенных таким образом функций
При подстановке (2.13.8) в (2.13.7) следует принять во внимание, что (это нетрудно проверить прямым вычислением) производная разрывная функция
где введены следующие обозначения:
Как это следует из (2.13.9), функции Поэтому функции Действительно, рассмотрим аргумент входящих в выражение
Вычислим первую и вторую производные этой функции в точке
Откуда следует, что
Учтем, что знак разности
Из полученных результатов следует, что для вычисления входящего в (2.13.10) интеграла следует разложить выражение в квадратных скобках по степеням
После подстановки разложения (2.13.15) в (2.13.10) учтем, что
и воспользуемся равенством
которое следует из определения производной обобщенной функции (функции Грина являются хорошо определенными в классе обобщенных функций). Вычисляя таким образом собственное поле частицы и подставляя его в выражение для силы самодействия (2.13.4), получим
В полученном выражении через
Этот член определяется слагаемым Чтобы избавиться от имеющейся в (2.13.16) расходимости, воспользуемся способом, аналогичным процедуре перенормировки массы в квантовой теории поля. Прежде всего заметим, что при получении выражения (2.13.16) учет взаимодействия частицы с собственным электромагнитным пблем осуществлялся методом последовательных приближений. При этом мы исходили из уравнения (2.13.1), полученного в предположении, что такое взаимодействие отсутствует. Это означает, что входящий в это уравнение параметр
Подставляя (2.13.16) в (2.13.2) и используя обозначения (2.13.17), мы окончательно получим следующее уравнение:
Уравнение (2.13.18) носит название уравнения Дирака — Лоренца. Оно релятивистски инвариантным образом учитывает потерю частицей энергии и импульса на электромагнитное излучение. Поскольку уравнение учитывает диссипативные эффекты, то вывод его из принципа наименьшего действия, по всей видимости, невозможен. Уравнение Дирака — Лоренца является нелинейным и, кроме того, содержит третью производную по собственному времени. Поэтому поиск его решений является чрезвычайно сложной задачей даже в тех случаях, когда внешнее поле имеет простейшую конфигурацию. Детальный анализ особенностей этого уравнения, а также исследование некоторых его точных и приближенных решений можно найти в приведенной в конце книги литературе.
|
1 |
Оглавление
|