Главная > Классические поля
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 13. СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА

Взаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем порождает целый ряд трудностей как в классической, так и в квантовой теории.

Первая из них связана с определением собственной энергии, т. е. энергии взаимодействия заряженной частицы с собственным электростатическим полем. Простые соображения, основанные на анализе размерностей, позволяют утверждать, что собственная энергия заряда имеющего характерный линейный размер пропорциональна следовательно, обращается в бесконечность при Следует отметить, что расходимость собственной энергии точечной частицы сохраняется и в квантовой теории.

Если частица движется ускоренно и, следовательно, излучает, возникает проблема правильного учета ее взаимодействия с собственным полем излучения. Действительно, как нам известно, электромагнитное излучение сопровождается потерей импульса. Это приводит к тому, что на частицу действует сила реакции излучения. Процесс излучения влияет на динамику излучающей системы, и это должно найти свое отражение на уровне динамических уравнений.

Здесь мы воспроизведем вывод хорошо известного в классической электродинамике уравнения Дирака — Лоренца, которое позволяет осуществить такой учет в случае, когда рассматривается движение точечного заряда во внешнем электромагнитном поле

Возьмем за основу полученное в § 3 уравнение движения точечного заряда

При выводе этого уравнения из вариационного принципа предполагалось, что поле создается внешними источниками и не зависит от переменных частицы. Чтобы учесть взаимодействие заряда с собственным электромагнитным полем, будем понимать под в правой части уравнения -сумму тензоров внешнего и создаваемого самой частицей электромагнитных полей. При этом уравнение принимает вид

где в правой части стоит сумма внешней силы

и силы самодействия

Потенциал собственного поля частицы находится как запаздывающее решение волнового уравнения

и с учетом соотношения (2.10.3) может быть записан в виде

В соответствии с этим мы получаем следующее выражение для тензора собственного поля частицы:

В § 10 мы показали, что запаздывающая функция Грина может быть релятивистски инвариантным образом разбита на сумму двух слагаемых:

первое из которых есть полусумма опережающего и запаздывающего решений, а второе — их разность. Ниже мы увидим, что это разбиение позволяет инвариантным образом разделить два упоминавшихся в начале параграфа эффекта — перенормировку массы частицы и эффект радиационного торможения.

Для введенных таким образом функций имеют место представления

При подстановке (2.13.8) в (2.13.7) следует принять во внимание, что (это нетрудно проверить прямым вычислением) производная разрывная функция не дает вклада в интеграл. В результате мы получаем следующее выражение для собственного поля частицы:

где введены следующие обозначения:

Как это следует из (2.13.9), функции отличны от нуля только на световом импульсе, т. е. при Вместе с тем в выражении для силы самодействия (2.13.4) они должны браться в точке, координаты которой есть разность координат частицы в моменты собственного времени Так как мировая линия частицы является времениподобной, то величина обращается в нуль только при

Поэтому функции при рассматриваемом значении аргумента должны быть пропорциональны

Действительно, рассмотрим аргумент входящих в выражение -функций как функцию переменной

Вычислим первую и вторую производные этой функции в точке получим

Откуда следует, что

Учтем, что знак разности совпадает со знаком Таким образом, в том случае, когда аргументом функций является разность для них справедливо представление

Из полученных результатов следует, что для вычисления входящего в (2.13.10) интеграла следует разложить выражение в квадратных скобках по степеням При этом ненулевой вклад дают члены до третьего порядка по включительно:

После подстановки разложения (2.13.15) в (2.13.10) учтем, что

и воспользуемся равенством

которое следует из определения производной обобщенной функции (функции Грина являются хорошо определенными в классе обобщенных функций). Вычисляя таким образом собственное поле частицы и подставляя его в выражение для силы самодействия (2.13.4), получим

В полученном выражении через обозначен расходящийся интеграл

Этот член определяется слагаемым в разложении (2.13.8) и, следовательно, должен интерпретироваться как собственная электромагнитная энергия, бесконечная в случае точечной частицы. Конечный вклад в силу самодействия (второе слагаемое в определяется функцией (он обусловлен взаимодействием частицы с собственным полем излучения) и представляет собой силу радиационного трения.

Чтобы избавиться от имеющейся в (2.13.16) расходимости, воспользуемся способом, аналогичным процедуре перенормировки массы в квантовой теории поля. Прежде всего заметим, что при получении выражения (2.13.16) учет взаимодействия частицы с собственным электромагнитным пблем осуществлялся методом последовательных приближений. При этом мы исходили из уравнения (2.13.1), полученного в предположении, что такое взаимодействие отсутствует. Это означает, что входящий в это уравнение параметр на самом деле является тем, что в квантовой теории принято называть голой массой (массой частицы, не взаимодействующей с собственным полем). Поскольку голая масса принципиально не наблюдаема, она йожет быть любой, в том числе и расходящейся, величиной. Наблюдаема только сумма голой и полевой массы, которая конечна и должна быть взята из эксперимента:

Подставляя (2.13.16) в (2.13.2) и используя обозначения (2.13.17), мы окончательно получим следующее уравнение:

Уравнение (2.13.18) носит название уравнения Дирака — Лоренца. Оно релятивистски инвариантным образом учитывает

потерю частицей энергии и импульса на электромагнитное излучение. Поскольку уравнение учитывает диссипативные эффекты, то вывод его из принципа наименьшего действия, по всей видимости, невозможен.

Уравнение Дирака — Лоренца является нелинейным и, кроме того, содержит третью производную по собственному времени. Поэтому поиск его решений является чрезвычайно сложной задачей даже в тех случаях, когда внешнее поле имеет простейшую конфигурацию. Детальный анализ особенностей этого уравнения, а также исследование некоторых его точных и приближенных решений можно найти в приведенной в конце книги литературе.

1
Оглавление
email@scask.ru