§ 13. СИЛА РАДИАЦИОННОГО ТРЕНИЯ. УРАВНЕНИЕ ДИРАКА — ЛОРЕНЦА

Взаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем порождает целый ряд трудностей как в классической, так и в квантовой теории.

Первая из них связана с определением собственной энергии, т. е. энергии взаимодействия заряженной частицы с собственным электростатическим полем. Простые соображения, основанные на анализе размерностей, позволяют утверждать, что собственная энергия заряда имеющего характерный линейный размер пропорциональна следовательно, обращается в бесконечность при Следует отметить, что расходимость собственной энергии точечной частицы сохраняется и в квантовой теории.

Если частица движется ускоренно и, следовательно, излучает, возникает проблема правильного учета ее взаимодействия с собственным полем излучения. Действительно, как нам известно, электромагнитное излучение сопровождается потерей импульса. Это приводит к тому, что на частицу действует сила реакции излучения. Процесс излучения влияет на динамику излучающей системы, и это должно найти свое отражение на уровне динамических уравнений.

Здесь мы воспроизведем вывод хорошо известного в классической электродинамике уравнения Дирака — Лоренца, которое позволяет осуществить такой учет в случае, когда рассматривается движение точечного заряда во внешнем электромагнитном поле

Возьмем за основу полученное в § 3 уравнение движения точечного заряда

При выводе этого уравнения из вариационного принципа предполагалось, что поле создается внешними источниками и не зависит от переменных частицы. Чтобы учесть взаимодействие заряда с собственным электромагнитным полем, будем понимать под в правой части уравнения -сумму тензоров внешнего и создаваемого самой частицей электромагнитных полей. При этом уравнение принимает вид

где в правой части стоит сумма внешней силы

и силы самодействия

Потенциал собственного поля частицы находится как запаздывающее решение волнового уравнения

и с учетом соотношения (2.10.3) может быть записан в виде

В соответствии с этим мы получаем следующее выражение для тензора собственного поля частицы:

В § 10 мы показали, что запаздывающая функция Грина может быть релятивистски инвариантным образом разбита на сумму двух слагаемых:

первое из которых есть полусумма опережающего и запаздывающего решений, а второе — их разность. Ниже мы увидим, что это разбиение позволяет инвариантным образом разделить два упоминавшихся в начале параграфа эффекта — перенормировку массы частицы и эффект радиационного торможения.

Для введенных таким образом функций имеют место представления

При подстановке (2.13.8) в (2.13.7) следует принять во внимание, что (это нетрудно проверить прямым вычислением) производная разрывная функция не дает вклада в интеграл. В результате мы получаем следующее выражение для собственного поля частицы:

где введены следующие обозначения:

Как это следует из (2.13.9), функции отличны от нуля только на световом импульсе, т. е. при Вместе с тем в выражении для силы самодействия (2.13.4) они должны браться в точке, координаты которой есть разность координат частицы в моменты собственного времени Так как мировая линия частицы является времениподобной, то величина обращается в нуль только при

Поэтому функции при рассматриваемом значении аргумента должны быть пропорциональны

Действительно, рассмотрим аргумент входящих в выражение -функций как функцию переменной

Вычислим первую и вторую производные этой функции в точке получим

Откуда следует, что

Учтем, что знак разности совпадает со знаком Таким образом, в том случае, когда аргументом функций является разность для них справедливо представление

Из полученных результатов следует, что для вычисления входящего в (2.13.10) интеграла следует разложить выражение в квадратных скобках по степеням При этом ненулевой вклад дают члены до третьего порядка по включительно:

После подстановки разложения (2.13.15) в (2.13.10) учтем, что

и воспользуемся равенством

которое следует из определения производной обобщенной функции (функции Грина являются хорошо определенными в классе обобщенных функций). Вычисляя таким образом собственное поле частицы и подставляя его в выражение для силы самодействия (2.13.4), получим

В полученном выражении через обозначен расходящийся интеграл

Этот член определяется слагаемым в разложении (2.13.8) и, следовательно, должен интерпретироваться как собственная электромагнитная энергия, бесконечная в случае точечной частицы. Конечный вклад в силу самодействия (второе слагаемое в определяется функцией (он обусловлен взаимодействием частицы с собственным полем излучения) и представляет собой силу радиационного трения.

Чтобы избавиться от имеющейся в (2.13.16) расходимости, воспользуемся способом, аналогичным процедуре перенормировки массы в квантовой теории поля. Прежде всего заметим, что при получении выражения (2.13.16) учет взаимодействия частицы с собственным электромагнитным пблем осуществлялся методом последовательных приближений. При этом мы исходили из уравнения (2.13.1), полученного в предположении, что такое взаимодействие отсутствует. Это означает, что входящий в это уравнение параметр на самом деле является тем, что в квантовой теории принято называть голой массой (массой частицы, не взаимодействующей с собственным полем). Поскольку голая масса принципиально не наблюдаема, она йожет быть любой, в том числе и расходящейся, величиной. Наблюдаема только сумма голой и полевой массы, которая конечна и должна быть взята из эксперимента:

Подставляя (2.13.16) в (2.13.2) и используя обозначения (2.13.17), мы окончательно получим следующее уравнение:

Уравнение (2.13.18) носит название уравнения Дирака — Лоренца. Оно релятивистски инвариантным образом учитывает

потерю частицей энергии и импульса на электромагнитное излучение. Поскольку уравнение учитывает диссипативные эффекты, то вывод его из принципа наименьшего действия, по всей видимости, невозможен.

Уравнение Дирака — Лоренца является нелинейным и, кроме того, содержит третью производную по собственному времени. Поэтому поиск его решений является чрезвычайно сложной задачей даже в тех случаях, когда внешнее поле имеет простейшую конфигурацию. Детальный анализ особенностей этого уравнения, а также исследование некоторых его точных и приближенных решений можно найти в приведенной в конце книги литературе.