§ 4. ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

Уравнения движения динамической системы, будь то материальные частицы или поля, могут быть получены как условия экстремальности некоторого функционала, называемого действием. Рассмотрим сначала общую формулировку этого вариационного принципа. Пусть указанный функционал равен

Здесь кратность интеграла если речь идет о частице, координаты которой являются функциями времени функция Лагранжа этой частицы. Если речь идет о поле, заданном в пространстве Минковского, то в этом случае -вектор пространства Минковского, -компонентная функция поля:

принадлежащая определенному представлению группы Лоренца.

Рассмотрим для краткости изложения оба этих случая единообразно, полагая в общем виде

Варьируем действие полагая при неизменных значениях функций на границе области интегрирования т. е. а в остальном выбирая функции произвольным образом. Тогда

Заметим, что поскольку Используя указанную перестановочность операций варьирования и дифференцирования, проинтегрируем в (1.4.2) по частям второе слагаемое:

Последнее слагаемое представляет, собой интеграл от дивергенции и обращается в поверхностный интеграл по границе области интегрирования:

равный нулю в силу условия отсутствия вариаций на границе. Поэтому

Отсюда в силу произвольности вариаций находим

— вариационные уравнения Эйлера — Лагранжа. Отметим, что уравнения (1.4.3) не изменяются при следующей замене функции

Действительно, тогда к действию добавляется интеграл от дивергенции, преобразующийся в поверхностный, а его вариация равна нулю.

Рассмотрим движение свободной частицы массы Тогда в нерелятивистском случае, как известно, функция Лагранжа частицы равна а действие

Для релятивистской частицы, как было показано выше, имеем

и в нерелятивистском приближении находим

Здесь второе слагаемое представляет собой функцию Гамильтона нерелятивистской частицы. Обобщая на релятивистский случай, положим

— функция Гамильтона. Тогда функция Лагранжа по определению будет равна

где Поэтому

—функция Лагранжа релятивистской частицы. В нерелятивистском пределе находим

Здесь второе слагаемое совпадает с функцией Лагранжа нерелятивистской частицы, равной ее кинетической энергии» а первый член — энергия покоя (внутренняя энергия) частицы с обратным знаком. Используя выражение (1.4.6) для функции Лагранжа, запишем действие

Как видно, действие является релятивистским инвариантом, так как выражается через интеграл от инвариантного собственного времени.

В динамике частиц вместо лагранжева описания их движения можно применять гамильтонов метод на основе введения новых (канонических) переменных вместо и новой, функции вместо функции Лагранжа

где» -функция Гамильтона, канонический импульс (см. выше (1.4.5, а)). Точно так же и в теории поля

можно перейти к гамильтонову описанию, заменяя переменные поля и лагранжиан:

где плотность гамильтоновой функции поля (гамильтониан):

которая представляет собой энергию поля, а

является плотностью канонического импульса поля. Таким образом, в теории поля, как и в теории частицы, производные по времени исключаются с помощью преобразования Лежандра и перехода к новым переменным Легко проверить, что в канонических переменных уравнения поля, эквивалентные уравнениям Лагранжа, таковы: