§ 4. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ И МЕТРИКА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ

Решающий шаг состоит в изменении интерпретации калибровочных преобразований (4.2.1) самого тензора Как мы убедимся чуть позже, рассмотрев закон преобразования компонент тензоров в многообразии, эти преобразования также можно понимать как следствие преобразования координат (4.3.13). Оставаясь пока на эвристическом уровне рассуждений, заметим, что в уравнение движения точечной частицы в гравитационном поле (4.3.12) тензор входит только как добавка к метрическому тензору Минковского

Попытаемся теперь интерпретировать как метрику пространства-времени в присутствии гравитационного поля, т. е. будем считать, что квадрат интервала в пространстве событий определяется квадратичной формой

Тогда преобразования координат

при сохранении квадрата интервала, а также самой записи метрики в форме (4.4.1) приводят к соотношению

Отсюда, с точностью до членов линейных по находим

что, очевидно, совпадает с постулированным в § 2 калибровочным преобразованием (4.2.1).

По существу, мы лишь дополнили интерпретацию преобразований переменных материальной системы как индуцируемых преобразованием координат, распространив ее на само гравитационное поле. Это не только упрощает всю картину, но и открывает путь к построению теории, инвариантной относительно конечных калибровочных преобразований. Действительно, для этого теперь достаточно от преобразования координат (4.4.3) с бесконечно малыми перейти к преобразованиям общего вида:

В этом случае разбиение метрики (4.4.1) уже теряет смысл, и мы приходим к выводу, что гравитационное поле следует рассматривать как метрику риманова нространства событий. Разумеется, при этом мы должны отказаться от представления о выделенности инерциальных систем отсчета. Сказанное означает, что при учете гравитационного взаимодействия это представление вообще теряет физический смысл глобально. Однако пространство Минковского по-прежнему играет важную роль, но теперь лишь как локальное понятие. Поясним это подробнее.

Пусть физическое пространство событий является римановым пространством, т. е. дифференцируемым многообразием, наделенным метрикой компоненты которой зависят от координат. Ясно, что не все произвольные наборы десяти функций являются физически допустимыми. Из предыдущего рассмотрения можно было сделать вывод, что в окрестности любой выбранной точки в пространстве событий (фактически и вдоль некоторой линии) гравитационные потенциалы можно обратить в нуль. В терминах соответствующих координат метрика пространства-времени в этой точке должна совпадать с метрикой Минковского. Это значит, что если в некоторой точке квадратичная форма

приведена к диагональному виду, то одна из компонент (обозначим ее должна быть положительна, а три других — отрицательны, причем существуют координаты, в которых локально мы будем иметь компоненты (1, —1, —1, —1).

Полезно напомнить, что интервал пространства событий в форме (4.4.7) мы получим и вне связи с гравитацией, например просто вводя в пространстве Минковского криволинейные пространственные координаты. Так, интервал вида

уже имеет форму (4.4.7). Однако в этом случае преобразованием координат

мы получим интервал пространства Минковского всюду, т. е. физическое содержание теории остается прежним. Однако полезно иметь возможность записи уравнений в терминах криволинейных координат общего вида, причем таких, что преобразования от координат пространства Минковского затрагивают не только сектор пространственных координат. В этом случае преобразования будут описывать переход к неинерциальной системе отсчета. Рассмотрим, например, семейство наблюдателей, движущихся с постоянным ускорением а в собственной лоренцевой системе отсчета и находящихся при в точках оси где параметр, «нумерующий» наблюдателей. Интегрируя систему уравнений с этими начальными данными, будем иметь

где собственное время обозначено через Для каждого из таких наблюдателей временная координата есть если теперь рассматривать параметр как пространственную координату (для краткости мы опускаем координаты не претерпевающие изменений) и перейти в двумерном пространстве к координатам то получим интервал в виде

Интересно отметить, что интервал (4.4.11) отличается от интервала пространства Минковского только общим множителем; такое пространство называют конформно-плоским. Итак, допуская возможность использования неинерциальных систем отсчета, мы также приходим к необходимости записи теории в терминах риманова пространства-времени. Присутствие «истинного» гравитационного поля будет означать лишь невозможность глобального введения во всем пространстве событий таких координат, чтобы метрика имела вид метрики Минковского. Таким образом, было бы неверно ассоциировать гравитационное поле с самим метрическим тензором пространства-времени. Допуская произвольные преобразования координат вида (4.4.6), мы вводим в теорию 4 произвольные функции, которые из десяти компонент метрического тензора оставляют шесть независимых функций для описания «истинного» гравитационного поля.

Итак, для того чтобы описать поведение материальной системы в заданном гравитационном поле, вообще не нужно никаких изменений в соответствующих уравнениях, достаточно переписать их в виде, пригодном в произвольной криволинейной системе координат в пространстве событий. Разумеется, это утверждение само представляет некоторый постулат, с которым связывают понятие о принципе эквивалентности. Существуют различные формулировки этого принципа, в которых пытаются уточнить, к каким явлениям это утверждение действительно

применимо, а к каким — нет. Предполагается, что это заведомо верно для движения точечной частицы, законов электродинамики, но, возможно, неверно для поведения скалярного поля. Как мы увидим ниже, непротиворечивая формулировка уравнений физических систем в гравитационном поле допускает введение некоторых ассоциируемых с гравитацией дополнительных структур, которые исчезают в отсутствие «истинного» гравитационного поля. Это, однако, не изменяет общих принципов дальнейшего построения, и мы не будем здесь рассматривать подобные усложнения.

Запись уравнений в Произвольных координатах, или, как говорят, общековариантная фбрмулировка той Или иной теории, будет обеспечена, если мы построим лагранжиан, являющийся скаляром относительно общих преобразований координат, а при варьировании будем учитывать зависимость метрики от координат. Прежде чем переходить к уточнению смысла основных геометрических понятий римановой геометрии, проиллюстрируем сказанное на примере уравнений движения точечной частицы. Будем варьировать действие (1.4.7), понимая под интервал (4.4.7) риманова пространства событий. Тогда из уравнений Эйлера — Лагранжа будем иметь

где, в отличие от результата гл. I, появились члены, пропорциональные производным от метрического тензора. Введем обратный тензор (контравариантный метрический тензор) такой, что

Умножая уравнение (4.4.12) на и суммируя по находим

Входящие в эту формулу трехиндексные величины, называемые символами Кристоффеля:

симметричны. по нижним индексам и образуют в четырехмерном пространстве систему сорока функций координат. С физической точки зрения правая часть уравнения (4.4.14) может рассматриваться как обобщенная -сила, возникновение которой вызвано неинерциальностью системы отсчета либо, если имеется «истинное» гравитационное поле, силами тяготения.

Уравнение (4.4.14) является общековариантным в том смысле, что при преобразовании координат (4.4.6) мы получим новую метрику (предполагая сохранение интервала (4.4.7)), вычислим ассоциируемые с ней символы Кристоффеля, и эти

волы Кристоффеля следует подставить в уравнение того же вида (4.4.14), записанное в терминах новых координат. Непосредственная проверка этого оказывается довольно громоздкой, но в этом и нет необходимости, если разобраться в геометрическом происхождении величин, входящих в уравнение. Поэтому, прежде чем двигаться дальше, уточним смысл понятий векторов и тензоров в римановом пространстве, а также введем, понятие ковариантного дифференцирования.

Исходным понятием, которое мы используем, является понятие дифференцируемого многообразия. Напомним смысл понятий вектора, ковектора и тензора. Поскольку понятие направления в многообразии может быть введено лишь локально, определения этих объектов связаны с понятиями производной по направлению либо бесконечно малого смещения. Вектором (ковариантным) называется оператор дифференцирования скалярной функции координат вдоль некоторого направления, это оператор представим в виде линейной комбинаций частных производных по координатам, коэффициенты которой (зависящий от точки) называются компонентами вектора (числовые функции)

В этом определении вектор есть инвариантный объект, не зависящий от выбора координат. Компоненты вектора, напротив при преобразовании координат (4.4.6) претерпевают изменений поскольку

Отсюда следует закон преобразования компонент вектора

В физической литературе под вектором в римановом пространстве обычно понимают совокупность его компонент, и в качестве определения используют закон преобразования (4.4.18). В дальнейшем мы также будем пользоваться этой терминологией, которая естественна, так как в теории поля приходится иметь дело именно с числовыми полями.

Ковектором (-формой) называют линейный функционал на множестве векторов; его компоненты (числовые функции точки) преобразуются по закону, вытекающему из разложения по базису дифференциалов координат

Переходя к штрихованным координатам, будем иметь

В многообразии определена операция свертывания по индексам вектора и ковектора, в результате которой получается скаляр (значение -формы на векторе). Свертывание тензорного произведения двух векторов или двух ковекторов лишено смысла.

Тензоры более высокой валентности (контравариантные, ковариантные и смешанные) определяются как соответствующие полилинейные отображения. Их компоненты (числовые функции) при преобразовании координат претерпевают переобразование вида

Риманово пространство представляет собой дифференцируемое многообразие, в котором, задано поле дважды ковариантного симметричного невырожденного тензора Пространство-время имеет метрический тензор лоренцевой сигнатуры, который, будучи приведен в любой выбранной точке к диагональному виду, имеет одну положительную и три отрицательные компоненты. Допускается обращение в нуль определителя метрического тензора лишь в отдельных особых точках многообразия (обращение его в нуль в некоторой области свидетельствовало бы о том, что фактически пространство-время имеет меньшую размерность).

Введение метрики дает возможность сопоставить каждому вектору некоторый ковектор с помощью сворачивания по одному индексу с метрическим Тензором

Эта операция называется опусканием индекса, для обозначения результирующего ковектора обычно используется тот же символ с нижним индексов. Аналогично каждому ковектору можно сопоставить вектор, используя свертывание по индексу с контравариантным метрическим тензором (поднятие индекса):

Наряду с векторами, ковекторами и тензорами в римановом пространстве естественно возникают многоиндексные величины не имеющие смысла тензоров. Так, дифференцирование некоторой скалярной функции по координатам порождает ковектор Дифференцирование по координатам тензоров ненулевого ранга приводит к объектам, имеющим дополнительный индекс:

которые, однако, уже не образуют тензора (т. е. не преобразуются по правилу (4.4.21)). Чтобы убедиться в этом, достаточно вывести закон преобразования, например

Важным объектом нетензорной природы в римановом пространстве является связноеть (символы Кристоффеля). Соответствующий закон преобразования нетрудно получить, воспользовавшись определением (4.4.15):

В противоположность тензору нетензорный объект можно обратить в нуль в любой точке (возможно, и на многообразии большей размерности) с помощью некоторого преобразования координат. Для этого достаточно подобрать должным образом неоднородные члены в законе преобразования. Так, можно обратить в нуль символы Кристоффеля, в результате чего уравнение движения частицы будет совпадать с уравнением движения в пространстве Минковского. Соответствующая система координат (при условии, что метрика в выбранной точке совпадает с метрикой Минковского) называется локально лоренцевой. В локально лоренцевой системе координат метрический тензор в окрестности выбранной точки имеет разложение, начинающееся с квадратичных по отклонению членов

Другой важный класс объектов в римановом пространстве представляют тензорные плотности. Заметим, что определитель метрического тензора при преобразовании координат умножается на квадрат якобиана преобразования

Отсюда следует, что корень квадратный из абсолютной величины задает инвариантный элемент объема в пространстве-событий

Величина является скалярной плотностью веса единица. Аналогично, если некоторый тензор помимо обычного тензорного закона преобразования умножается на якобиан преобразования в степени говорят, что мы имеем дело с тензорной плотностью веса Нетрудно показать, что полностью антисимметричный единичный символ Леви — Чивита в римановом, пространстве становится контравариантной тензорной плотностью веса минус единица, либо ковариантной тензорной плотностью веса единица. Действительно, пусть в римановом пространстве этот объект задан условием совпадения с обычным символом Леви — Чивита в локально лоренцевой системе

координат в окрестности некоторой точки. Тогда при переходе к произвольным координатам

откуда и следует сделанное утверждение. Заметим, что формулы для тензорного произведения и его сверток по одному, двум, трем и четырем индексам совпадают с аналогичными формулами в пространстве Минковского.

Обратимся теперь к понятию ковариантного дифференцирования. Поскольку частная производная тензора в римановом пространстве не является тензором, целееообразно построить такую производную тензора, которая в локально лоренцевой системе координат совпадала бы с частной производной, а в произвольной системе координат превращала бы тензор в другой тензор, имеющий на один ковариантный индекс больше. Такая производная называется ковариантной. Для ее обозначения используется точка с запятой перед индексом. Из нашего определения сразу следует, что

поскольку в локально лоренцевой системе частные производные от метрики равны нулю (см. (4.4.27)). Ковариантная производная от скаляра совпадает с обычной производной. Из определения также непосредственно вытекает правило Лейбница

Явное выражение для ковариантной производной можно получить, сравнивая закон преобразования частной производной вектора (4.4.25) с законом преобразования (4.4.26) символов Кристоффеля. Требуемая компенсация неоднородных членов будет достигнута, если положить

Поскольку в локально лоренцевой системе координат символы Кристоффеля (в выбранной точке) исчезают, наложенные требования оказываются выполненными. Аналогично можно показать, что ковариантная производная ковектора равна (можно воспользоваться правилом Лейбница при дифференцировании свертки вектора и ковектора)

В более общем случае смешанного тензора будем иметь

Заметим, что, хотя ковариантная производная в силу определения добавляет один ковариантный индекс, благодаря правилу Лейбница и равенству нулю ковариантной производной

метрики можно использовать также контравариантный индекс после точки с запятой в следующем смысле:

С помощью ковариантной производной можио построить ковариантный (абсолютный) дифференциал вектора (ковектора, тензора), например

Это яонятме позволяет ввести параллельный перенос вектора в римановом пространстве, при котором по определению

Как мы увидим в следующем разделе, результат параллельного переноса вектора на конечное расстояние зависит от формы пути, в частности перенос по замкнутому контуру может не возвращать вектор в исходное положение. Это свойство можно использовать в качестве критерия присутствия «истинного» гравитационного поля, ибо в случае, когда искривление пространства-времени обусловлено лишь выбором неинерциальной системы отсчета, существует преобразование координат, возвращающее метрику к виду метрики Минковского всюду. В последнем случае параллельный перенос вектора по замкнутому контуру, очевидно, дает нуль, и в силу тензорного характера ковариантной производной это свойство будет сохранено и в произвольной системе координат.

Вернемся теперь к полученному выше закону движения пробной частицы в искривленном пространстве-времени (4.4.14). Сравнивая с формулами (4.4.37), (4.4.38), нетрудно заметить, что согласно уравнению движения вектор 4-скорости частицы параллельно переносится вдоль мировой линии. Такая кривая называется геодезической. В римановом пространстве эта кривая одновременно является кривой экстремальной длины. Наше определение ковариантной производной также позволяет непосредственно получить уравнение движения (4.4.14) из соответствующего уравнения в пространстве Минковского. Для этого достаточно частный дифференциал вектора скорости заменить на ковариантный, поскольку уравнение движения в пространстве Минковского есть

Таким образом, можно сформулировать правило, позволяющее записать уравнения физической системы в произвольной системе отсчета, а также в присутствии гравитационного поля, «ели известны соответствующие уравнения в пространстве Минковского. Все тензорные величины следует понимать как тензоры в многообразии с соответствующими законами преобразования и совпадающими с исходными тензорами в пространстве Минковского в локально лоренцевой системе отсчета. Далее все дифференциалы тензоров следует заменить на ковари» антные дифференциалы, а частные производные — на

ковариантные производные. При обобщении интегральных соотношений необходимо пользоваться инвариантными элементами объема (4.4.29). Символ Леви — Чивита следует заменить выражением (4.4.30). (Обоснование этих правил по существу содержится в определении соответствующих объектов и операций, апеллирующих к локально лоренцевой системе отсчета.)

Сформулируем законы электродинамики в искривленном пространстве событий. Электромагнитное поле будем описывать, вводя -форму и определяя тензор поля как

Заметим, что символы Кристоффеля при вычислении разности ковариантных производных сокращаются, и фактически справедливо прежнее определение

(Математически это следует из того, что бивектор есть внешняя производная -формы

Уравнения Максвелла с источником принимают в соответствии со сказанным выше вид

где -ток системы точечных зарядов определяется выражением

(появление в знаменателе обусловлено использованием неинвариантной четырехмерной -функции,

являющейся скалярной плотностью веса единица).

Уравнения Максвелла без источников могут быть представлены в двух альтернативных формах записи:

(здесь также происходит сокращение членов с символами Кристоффеля), либо

где

— дуальный тензор поля.

Закон сохранения плотности -тока принимает вид

(Вытекает из (4.4.41)). Воспользовавшись формулой

можем переписать ковариантную дивергенцию вектора также в форме

В аналогичной форме переписывается и ковариантная дивергенция антисимметричного тензора, поэтому вместо (4.4.41) и (4.4.44) можно записать

Наконец, калибровочное условие Лоренца можно также представить в эквивалентных формах

Уравнение движения заряда в электромагнитном поле в искривленном поостранстве событий будет иметь вид

Мы предоставляем читателю в качестве упражнения сформулировать уравнения Янга — Миллса и уравнения Вонга в римановом пространстве-времени, а также проверить, что рассмотренные в предыдущем параграфе законы преобразования вектора и тензора согласуются с преобразованием соответствующих тензоров в многообразии при инфинитезимальных преобразованиях координат.