§ 7. ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

В этом и двух последующих параграфах мы рассмотрим некоторые частные решения системы уравнений Максвелла.

Начнем со случая постоянного поля, т. е. поля, которое от времени не зависит. В статическом пределе система уравнений (2.1.1) - (2.1.4) распадается на две независимые пары уравнений, содержащих только электрическое или только магнитное поле. Система уравнений для постоянного электрического поля имеет вид

В статическом случае не только поля, и потенциалы можно считать не зависящими от времени, поэтому соотношение (2.1.19) приобретает вид

Из последнего равенства следует, что электростатический потенциал можно представить в виде интеграла

вдоль некоторого контура из произвольным образом выбранной точки в точку . В силу второго из уравнений (2.7.1) этот интеграл не зависит от пути, т. е. - это действительно функция точки. Мы видим, что электростатический потенциал определен с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Это то, что осталось от калибровочной инвариантности в рассматриваемом случае.

Уравнение, которому удовлетворяет потенциал мы получим после подстановки (2.7.2) в первое из уравнений (2.7.1):

Оно называется уравнением Пуассона. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства плотность заряда равна нулю, это уравнение превращается в уравнение Лапласа

Рассмотрим решение уравнения Пуассона, когда распределение заряда задано во всем пространстве и функция достаточно быстро убывает на бесконечности.

Прежде всего построим функцию Грина уравнения (2.7.3), которую мы определим как решение уравнения Пуассона с -образной правой частью:

(мы еще вернемся к вопросу о функциях Грина в § 10). Стоящая в правой части уравнения -функция Дирака определяется требованием, чтобы для любой непрерывной в окрестности нуля функции выполнялось равенство

Выполняя в (2.7.5) линейную замену переменных и переходя к сферической системе координат, получаем

Интегрируя обе части равенства (2.7.5) по объему шара радиуса и принимая во внимание определение (2.7.6), приходим к уравнению

интегрируя которое, находим

Решение (2.7.8) представляет собой потенциал электростатического поля, создаваемого единичным точечным зарядом. Как и должно быть, он определен с точностью до постоянной. Обычно эту постоянную выбирают равной нулю, с тем чтобы потенциал обращался в нуль на бесконечности.

Таким образом, решение уравнения (2.7.5), удовлетворяющее условию обращения в нуль на бесконечности, имеет вид

Знание функции Грина позволяет записать решение уравнения (2.7.3) в виде интеграла:

(Выше мы предположили, что функция быстро убывает на бесконечности, так что интеграл сходится). Действительно, применяя к обеим частям равенства (2.7.10) оператор Лапласа, используя уравнение (2.7.5) и равенство (2.7.6), мы получаем, что функция (2.7.10) действительно удовлетворяет

уравнению (2.7.3). Подставляя в (2.7.10) функцию Грина окончательно получаем

Подчеркнем еще раз, что формула (2.7.11) дает решение уравнения Пуассона, если плотность заряда задана во всем пространстве и интеграл сходится. В тех случаях, когда распределение зарядов известно только в ограниченной области пространства, единственность решения обеспечивается заданием значения потенциала или его нормальной производной на границе области.

Интеграл (2.7.11) может быть вычислен аналитически в относительно небольшом числе случаев. Это определяет важность приближенных методов, позволяющих получить выражение для потенциала при достаточно общих предположениях о поведении функции

Пусть заряд распределен в ограниченной области пространства. Получим приближенное выражение для электростатического потенциала в точках, отстоящих от системы зарядов? на расстояния, существенно превышающие ее размер. Выберем начало отсчета внутри системы. Так как при сделанных предположениях разложим функцию в ряд Тейлора в точке Получим

Воспользуемся тождеством

Тогда, подставляя (2.7.12) в (2.7.11), мы приходим к следующему выражению:

Здесь использованы следующие обозначения:

— полный заряд сиетемы,

— вектор дипольного момента,

— тензор квадрупольного момента системы зарядов. Заметим», что след тензора равен нулю.

Разложение (2.7.13), которое называется разложением электростатического поля по мультиполям, позволяет свести вычисление потенциала к вычислению полного заряда, дипольного, квадрупольного и т. д. моментов. Главный член разложения совпадает с потенциалом точечного заряда. Если система электронейтральна, то ее потенциал убывает, по крайней мере, как и тем быстрее, чем выше симметрия в распределении заряда.