Глава IV. ГРАВИТАЦИЯ

§ 1. ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ТЕОРИИ

Последняя «по счету, но не по значению» классическая теория поля, которую мы хотим обсудить в этой книге, это теория гравитации. В отличие от электродинамики и теории Янга — Миллса классическая теория гравитации пока не имеет общепризнанного квантового аналога, хотя на квантовании гравитации в последние годы сосредоточены большие усилия. Так же как и максвелловская теория, классическая теория гравитации имеет специфические трудности, например неизбежность сингулярных решений уравнений Эйнштейна, разрешение которых, как полагают, является прерогативой квантовой теории. Не исключено, что квантовая теория гравитации будет значительно сильнее отличаться от классической, нежели квантовая электродинамика от теории Максвелла, и даже будет иметь дело с объектами принципиально иной природы, например струнами. Вместе с тем область применимости классической теории гравитации значительно шире, нежели область применимости теорий, рассмотренных в гл. II, III, и простирается от космологического масштаба до сверхмикроскопических расстояний, ограниченных лишь планковской длиной

где ньютоновская постоянная, постоянная Планка, с — скорость света (далее полагаемая единицей). Малость этого параметра делает классическую теорию гравитации применимой и в области расстояний, в которой атомы и элементарные частицы заведомо должны обнаруживать квантовое поведение. В результате возникает имеющая широкую область применимости полуклассическая теория, в которой рассматриваются квантованные поля на фоне искривленного пространства-времени, с которым ассоциируется классическое гравитационное поле. На этом пути в последние годы были получены новые неожиданные результаты: квантовое испарение черных дыр, экспоненциальное раздувание в ранней Вселенной («инфляционная Вселенная») и др. Не имея возможности останавливаться здесь подробнее на этих новых аспектах теории гравитации, мы отсылаем читателя к соответствующим книгам

и обзорам. Нашей же задачей будет знакомство лишь с чисто классическими аспектами гравитационного взаимодействия, составляющими традиционное содержание общей теории относительности. При этом полезно иметь в виду, что, хотя общая теория относительности как релятивистская теория гравитационного взаимодействия исторически возникла на основе распространения принципа относительности на неинерциальные системы отсчета и принципа эквивалентности инертной и гравитационной масс, возможна и «полевая» трактовка теории гравитационного поля как взаимодействующего поля спина два, ассоциируемого с симметричным тензорным полем второго ранга в пространстве Минковского. При таком подходе общая теория относительности оказывается результатом релятивизации (в смысле требований специальной теории относительности) ньютоновской теории тяготения.

Как известно, ньютоновская теория тяготения основана на описании гравитационного взаимодействия тел с помощью скалярного потенциала удовлетворяющего уравнению Пуассона

где -плотность тяготеющих масс. Это уравнение вполне аналогично электростатическому уравнению Пуассона (2.7.3) и соответствует представлению о мгновенном характере взаимодействия. Если попытаться модифицировать уравнение (4.1.2) с учетом требования конечности скорости распространения взаимодействия, то мы придем к уравнению Даламбера типа (2.1.27). Возникает вопрос, какова природа источника гравитационного поля, трактуемого таким образом, с точки зрения его геометрической природы в пространстве Минковского. Из физических соображений следует, что в нерелятивистском пределе эта величина должна переходить в плотность массы, с другой стороны, она должна быть скаляром в пространстве-времени Минковского. Подобными свойствами обладает лишь след тензора энергии-импульса материальной системы, и, действительно, мы придем к правильной форме закона Ньютона для двух нерелятивистских масс, если примем в качестве релятивистского уравнения

где — след тензора энергии-импульса, ассоциируемого с телом, создающим гравитационное поле Однако такая скалярная теория гравитации оказывается совершенно неудовлетворительной для описания наблюдаемого отклонения луча света в гравитационном поле тела массы М:

где прицельный параметр луча. Дело в том, что для электромагнитного поля след тензора энергии-импульса

тождественно равен нулю, и потому выбор лагранжиана взаимодействия в виде

отвечающем уравнению (4.1.6), приводил бы вообще к отсутствию взаимодействия луча с телом. Альтернативный выбор лагранжиана взаимодействия, приводящий к отличному от нуля взаимодействию луча с гравитирующей массой, отвечает связи с производными

Однако нетрудно понять, что и это предположение неудовлетворительно, поскольку вторая производная от ньютоновского потенциала убывает как а не как что следует из наблюдений (см. (4.1.4)). Таким образом, оказывается, что выбор скалярного поля для описания тяготения с учетом конечностк скорости распространения взаимодействия вообще неверен.

Следуя логике построения классических полевых теорий в. пространстве Минковского, мы должны далее рассмотреть на роль переносчика гравитационного взаимодействия поля более высокой тензорной размерности. Ясно, что векторное поле следует исключить: как мы видели в гл. II, такое поле приводит к взаимному отталкиванию одинаковых частиц (т. е. одноименных зарядов), а не их притяжению. Следующим кандидатом является поле симметричного тензора второго ранга (антисимметричное поле, которое можно представить как -ротор некоторого -вектора, также следует исключить) Оказывается, что именно этот выбор и приводит к удовлетворительной теории, о чем мы будем говорить подробнее в последующих разделах этой главы. Здесь же обсудим, насколько этот выбор однозначен.

Замечательным фактом является то, что поля высших тензорных размерностей оказываются исключенными автоматически: если предположить, что подобное поле является переносчиком взаимодействия между частицами, понимая это взаимодействие на основе стандартных принципов квантовой теории, то оказывается, что в классическом пределе (при формальном устремлении к нулю постоянной Планка) взаимодействие посредством полей тензорной размерности выше двух вообще исчезает. Тем самым поле симметричного тензора второго ранга выступает в роли единственного приемлемого кандидата на роль переносчика гравитационного взаимодействия, если, конечно, предположить, что во взаимодействии не участвуют одновременно несколько полей различной тензорной размерности, причем симметричный тензор второго ранга дает доминирующий вклад. Подобные теории действительно рассматриваются (например, скалярная теория Бранса — Дике) и заведомо не могут быть отвергнуты экспериментально, если вклад

дополнительных полей относительно мал. Более того, существуют другие соображения, которые стимулируют рассмотрение подобных смешанных теорий, причем, в отличие от теории Максвелла, полевые уравнения оказываются нелинейными, так что разделить вклады отдельных полей можно лишь в пределе слабого поля. Однако наиболее простая и изящная картина гравитационного взаимодействия получается при выборе в качестве его переносчика «чистого» поля симметричного тензора второго ранга, отвечающего в квантовой теории спину два. Интересно, что последовательное развитие такой теории в пространстве Минковского приводит к «перенормировке» этого пространства и превращению его в псевдориманово пространство общей теории относительности. При таком подходе к построению теории гравитации принцип эквивалентности оказывается следствием предположения о тензорной природе переносчика гравитационного взаимодействия. В конечном счете мы приходим к стандартной общей теории относительности, хотя мотивация основана на иных эвристических принципах, более близких современному пониманию классических полевых теорий, нежели это было в работах Эйнштейна 1915 г.

В заключение этого раздела упомянем еще одну возможность: изложенные соображения не исключают возможности приписать тензорному полю некоторую массу. В этом случае для двух точечных масс вместо закона Ньютона мы имели бы потенциал взаимодействия, экспоненциально убывающий на больших расстояниях. Если выбрать соответствующий масштаб Достаточно большим, например больше размера наблюдаемого участка Вселенной, то видимого противоречия с наблюдениями не возникнет. Однако нетривиальная особенность теории массивного поля симметричного тензора второго ранга в пространстве Минковского заключается в том, что в пределе исчезающе малой массы (бесконечно большого параметра экранирования) такая теория соответствует не «чистой» безмассовой теории поля спина два, а теории, содержащей конечную (не малую) примесь скалярного поля. Оказывается, если выбрать параметры так, чтобы не возникало противоречия с законом Ньютона, то для отклонения луча в поле тяготения, создаваемом массивным телом, получим результат, противоречащий наблюдениям. На этом основании массивное тензорное поле в качестве переносчика гравитационного взаимодействия обычно не рассматривается.