§ 2. ЛИНЕИНАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО БЕЗМАССОВОГО ПОЛЯ СПИНА ДВА

Из квантовой теории поля известно, что свободная безмассовая частица обладает двумя состояниями поляризации независимо от спина. Это означает, что из десяти компонент тензора восемь являются нефизическими и подлежат исключению. Аналогичная ситуация встречалась в теории векторного

поля в гл. II. Из четырех компонент вектора физическим состоянием свободного лоля отвечали две, причем исключение «лишних» компонент обеспечивалось благодаря инвариантности теории относительно калибровочных преобразований (2.1.22). Поле симметричного тензора второго ранга можно рассматривать как совокупность четырех векторных полей, поэтому, если потребовать выполнения четырех калибровочных условий, можно исключить восемь нефизических компонент. Для этого теория должна быть инвариантна относительно градиентных преобразований вида

где — векторное поле.

Инвариантность лагранжиана электродинамики относительно калибровочных преобразований обеспечивалась тем, что он зависел лишь от тензора электромагнитного поля, представляющего собой калибровочно-инвариантную комбинацию первых производных 4-потенциала. В случае тензорного поля подобная комбинация содержала бы уже вторые производные

но тогда уравнения поля содержали бы четвертые производные. Подобные теории сейчас обсуждаются, и им присущи дополнительные трудности (хотя на квантовом уровне имеется и ряд преимуществ), поэтому мы не будем развивать эту возможность здесь. Если же пытаться построить теорию, в которой волновое уравнение оставалось бы уравнением второго порядка, придется отказаться от попыток сформулировать ее в терминах калибровочно-инвариантных величин. Более того, вообще не удается найти квадратичную форму от первых производных тензорного поля по координатам, которая была бы инвариантна относительно конечных преобразований (4.2.1). Самое большее, что можно сделать, это построить лагранжиан, который при инфинитезимальных преобразованиях вида (4.2.1) (т. е. с учетом лишь линейных по членов) изменялся бы на полную производную некоторого вектора. Такой лагранжиан имеет вид

где Его варьирование приводит к уравнениям

в инвариантности которых относительно преобразований (4.2.1) можно убедиться. Более простой вид эти уравнения приобретают в терминах величин

для которых из (4.2.4) получим

Калибровочные преобразования (4.2.1) при этом принимают вид

В силу второй теоремы Нётер они порождают следующие тождества Бианки, которые имеют место независимо от выполнения полевых уравнений:

Тождества Бианки указывайт, что мы имеем теорию со связями.

Воспользовавшись симметрией относительно калибровочных преобразований, можно подчинить теорию дополнительным условиям Де Дондера — Фока

аналогичным условиям Лоренца в электродинамике. В этой калибровке полевые уравнения приобретают вид уравнений Даламбера

поэтому многие результаты, полученные в гл. II для поля Максвелла, могут быть переформулированы для

Исходя из симметрии действия относительно пространственно-временных сдвигов, можно построить канонический тензор энергии-импульса

который, как и в электродинамике, несимметричен (последнее свойство связано с наличием спинового момента количества движения). Канонический тензор энергии-импульса удовлетворяет условию консервативности

Отсюда следует закон сохранения 4-импульса поля

где интегрирование ведется по всему бесконечному пространству. Заметим, что для сходимости интеграла необходимо потребовать, чтобы компоненты поля убывали на пространственной бесконечности достаточно быстро. Подобное требование следует наложить и на поведение калибровочных функций

Все изложенное находится в близкой аналогии с теорией векторного поля, обсуждавшейся в гл. II. Однако есть и существенное отличие. Чтобы построить теорию, не содержащую высших производных, нам пришлось отказаться от попыток; сформулировать ее в терминах явно калибровочно-инвариантных величин (4.2.2). Теперь оказывается, что в отличие от максвелловской теории, в которой тензор энергии-импульса инвариантен относительно калибровочных преобразований, в рассматриваемом случае тензор энергии-импульса при калибровочных преобразованиях (4.2.1) приобретает добавку

С физической точки зрения это означает, что для тензорного поля локальная плотность энергии-импульса не определена. Даже ограничившись инфинитезимальными преобразованиями, не удается построить не зависящий от калибровки тензор энергии-импульса. Тем не менее если поле достаточно быстро спадает на пространственной бесконечности и если калибровочные преобразования не изменяют этого поведения, то -импульс поля оказывается определенным однозначно. Действительно, добавка к каноническому тензору энергии-импульса (4.2.15) в свою очередь удовлетворяет соотношению консервативности

и поэтому преобразованный тензор также порождает сохраняющийся -вектор импульса Но тогда можно выбрать калибровку, в которой в начальный момент времени -импульс поля был равен а в конечный момент равен Поскольку разность удовлетворяет уравнению (4.2.16), путем стандартных рассуждений можно показать, что Поскольку и сохраняются во времени, отсюда следует Итак, если поле достаточно быстро спадает на бесконечности, удается построить инвариантный относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований полный -импульс полевой конфигурации при условии, что допустимые калибровочные преобразования не изменяют асимптотического поведения поля.

Добавляя к каноническому тензору энергии-импульса полную дивергенцию антисимметричного тензора

получим симметричный тензор энергии-импульса

Этот комплекс приводит к тому же самому выражению для -импульса поля, что и канонический.

Предположим теперь, что необходимые асимптотические условия для выполнены, и мы имеем -импульс (4.2.14), инвариантный относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований. Фиксируем кдлибровку Де Дондера — Фока (4.2.10), в которой полевые уравнения имеют простой вид (4.2.11). Тогда общее решение полевых уравнений можно представить в виде следующего разложения в интеграл Фурье:

где -изотропный волновой вектор, и амплитуды удовлетворяют условию поперечности, вытекающему из (4.2.10):

Подставляя (4.2.19) в (4.2.14) и интегрируя по координатам, получим с учетом поперечности поля и изотропности волнового вектора следующее выражение для -импульса полевой конфигурации:

Покажем, что подынтегральное выражение является положительно определенным. Введем единичный вектор и перепишем систему дополнительных условий (4.2.20) в явном виде:

С помощью этих соотношений можно избавиться: в выражении (4.2.21) от, дважды временной и смешанных компонент, что дает

где проекционный оператор имеет вид

Вводя пару ортов ее и ортогональных волновому вектору

и учитывая полноту тройки векторов ее,

можно написать

Подставляя это выражение в (4.2.24), после преобразований будем иметь

где введены трехмерные тензоры

обладающие следующими свойствами:

Используя представление (4.2.28) проекционного оператора, получаем выражение для полного -импульса полевой конфигурации в виде суммы по двум состояниям поляризации:

где введены проекции амплитуд на поперечные тензоры

Положительная определенность подынтегрального выражения очевидна, причем вклад в энергию и импульс поля дают лишь две независимые проекции тензора которые можно связать с двумя состояниями линейной поляризации гравитационных волн. Каждое из этих состояний задается дважды поперечным тензором второго ранга (4.2.29) в трехмерном евклидовом пространстве. Можно ввести в рассмотрение и состояния круговой поляризации свободного гравитационного поля, построив предварительно комплексный изотропный -вектор:

Состояния круговой поляризации будут описываться трехмерными комплексными тензорами

Преобразуя выражение (4.2.21) к этим амплитудам, будем иметь

где

— комплексные амплитуды правой и левой круговых поляризаций.

Состояния круговой поляризации диагонализуют также квадратичную форму собственного момента количества движения поля. Симметрия лагранжиана (4.2.3) относительно поворотов (псевдоповоротов) в пространстве Минковского где антисимметричная матрица, лриводит на основании теоремы Нётер к закону сохранения полного момента количества движения:

Здесь первое слагаемое выражается через канонический тензор энергии-импульса и представляет собой орбитальный момент

а второе связано с преобразованием компонент тензора

и интерпретируется как плотность спинового момента количества движения поля

Явное выражение для матрицы поворотов получается в результате применения тензорного закона преобразования

Подставляя это выражение в (4.2.40) для пространственной плотности тензора спина, находим

Введем теперь трехмерный псевдовектор спина полевой конфигурации

Подставляя в это выражение разложение Фурье поля (4.2.19), в результате исключения продольных компонент и перехода к комплексным амплитудам круговой поляризации будем иметь

Нормировка амплитуд соответствует принятой в квантовой теории поля в системе единиц поэтому можно сделать, вывод, что амплитуды круговой поляризации и соответствуют проекциям спина по и против направления волнового вектора соответственно, причем абсолютное значение спина равно двум.

Итак, наложение дополнительных условий Де Дондера — Фока (4.2.10) приводит к полному исключению нефизических продольных компонент свободного тензорного поля из выражений для полного -импульса и полного спина. Отметим, что с помощью четырех соотношений (4.2.10) удалось исключить восемь лишних компонент. Это означает, что структура соответствующих выражений фактически сама исключает четыре нефизические компоненты. Однако можно указать способ и явного наложения еще четырех условий на тензор поля. Для этого заметим, что после фиксации калибровки Де Дондера-Фока (4.2.10) теория остается инвариантной относительно калибровочных преобразований второго рода, также выражаемых соотношением (4.2.1), но с калибровочной функцией удовлетворяющей уравнению Даламбера

В силу этого второе калибровочное преобразование не будет изменять ни ранее наложенного условия (4.2.10), ни уравнений поля в форме (4.2.11). Выбирая надлежащим образом можно исключить еще четыре лишние компоненты тензора (явное выполнение этой процедуры см. в [14]). Аналогично осуществляется исключение двух нефизических компонент векторного поля в электродинамике.

Резюмируя изложенное в этом разделе, можно сказать, что удается построить линейную теорию симметричного тензорного поля второго ранга в пространстве Минковского, инвариантную относительно инфинитезимальных калибровочных преобразований, порождаемых четырьмя калибровочными функциями. Теория не содержит высших производных, но платой за это являются использование калибровочно-неинвариантных величин в лагранжиане и обусловленная этим зависимость канонического тензора энергии-импульса от выбора калибровки. Однако для локализованных полевых конфигураций можно построить калибровочно-инвариантный полный -импульс, в который дают вклад две независимые поперечные проекции тензора поля. В квантовой теории это поле отвечает безмассовой частице спина два.

Отсутствие симметрии относительно конечных калибровочных преобразований служит указанием на приближенный характер теории. Можно предположить, что должна существовать более сложная нелинейная теория, в которой калибровочная симметрия является точной, линеаризация же этой теории и

приводит к рассмотренной модели линейного тензорного поля. Путь к решению этой проблемы указывает рассмотрение взаимодействия тензорного поля с материальными системами.