§ 5. ТЕОРЕМА Э. НЕТЕР

Рассмотрим более подробно вопрос об инвариантности относительно непрерывных преобразований в теории поля. Пусть в результате некоторого непрерывного преобразования, принадлежащего группе Ли, преобразуются -векторы координат и функции поля:

Рассмотрим функционал действия

где область интегрирования произвольна. Введем понятие локальной вариации связанной с преобразованием формы функции

Поскольку

для полной вариации получим

Предположим, что действие инвариантно относительно преобразований (1.5.1)

Найдем явный вид вариации действия

Здесь

где

Якобиан перехода равен

Используя тождество символ следа матрицы) запишем

поэтому

Теперь займемся вторым слагаемым в (1.5.7):

Здесь

Если поле удовлетворяет уравнениям Лагранжа

то

Полная вариация Таким образом, для вариации действия получим

Если, как мы предположили, объем произволен и действие инвариантно, то дивергенция под знаком интеграла равна нулю:

Преобразования образуют группу Ли с параметрами , поэтому

где

и генераторы группы. Определим так называемый ток Нётер

и тогда из (1.5.10) в силу независимости параметров друг от друга получим

Равенство нулю дивергенции приводит к закону сохранения, т. е. интегралу уравнений поля. Действительно, применяя теорему Гаусса, запишем

Пусть область интегрирования ограничена двумя гиперплоскостями а в пространственноподобных направлениях простирается до бесконечности, где Тогда (1.5.13) приводит к равенству

Полученные интегралы представляют собой заряды Нётер

которые в силу (1.5.14). оказываются постоянными во времени, т. е. интегралами движения теории поля. В этом и состоит теорема Нётер. Заметим, что введенные выше токи Нётер неоднозначны, так как допускают преобразования

не нарушающие равенства (1.5.12).