Главная > Классические поля
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЗАРЯДОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Рассмотрим, каким образом классическая электродинамика может быть построена в соответствии с общими принципами классической теории поля. Первое, что нужно сделать, — это установить вид действия для свободного электромагнитного поля. После этого в действие следует включить члены, учитывающие взаимодействие электромагнитного поля с заряженной материей и движение зарядов. Итак, для системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля, мы будем искать действие в виде суммы трех слагаемых: действия, описывающего электромагнитное поле действия для свободных частиц и члена, учитывающего взаимодействие зарядов с электромагнитным полем

Получим прежде всего выражение для действия свободного электромагнитного поля. При этом примем во внимание следующие естественные ограничения. Величина а также соответствующий ей лагранжиан должны быть построены только из величий, описывающих электромагнитное поле, и быть релятивистскими инвариантами. Линейность уравнений поля

требует, чтобы действие для поля было билинейным функционалом от -потенциала и его первых производных и не содержало производных более высокого порядка. Градиентная инвариантность уравнений электромагнитного поля означает, что действие должно быть записано только через градиентно-инвариантные величины.

Единственными величинами, удовлетворяющими сформулированным выше требованиям, являются инварианты поля (2.1.16) и (2.1.17). Поэтому лагранжиан теории следует искать в виде их линейной комбинации. Вместе с тем равноправие левых и правых координатных систем заставляет отказаться от инварианта (2.1.17) как возможного члена в общем выражении для лагранжиана свободного электромагнитного поля. Это обусловлено его псевдоскалярным характером. Действительно, введение такого члена в лагранжиан приведет к уравнениям поля, вид которых будет меняться при отражении координатных осей. Таким образом, мы окончательно получаем

Введение в (2.2.2) коэффициента соответствует выбору гауссовой системы единиц. Мы увидим, что действие (2.2.2) действительно приводит к правильным уравнениям для свободного электромагнитного поля.

С точки зрения классической теории поля полученное действие является действием для безмассового векторного поля, которое описывается четырьмя функциями образующими в совокупности -вектор и связанными с тензором соотношением (2.1.21). Если ограничиться требованиями релятивистской инвариантности и линейности уравнений поля, то в качестве действия для безмассового векторного поля мы могли бы взять одно из выражений:

либо

Нетрудно проверить, что в обоих случаях полученные с помощью вариационного принципа уравнения совпадают с уравнением Даламбера (2.1.28). Однако, как было показано в предыдущем параграфе, уравнения Максвелла могут быть получены из (2.1.28) только при наложении условия Лоренца. (2.2.4) отличается от (2.2.3) на интеграл от -дивергенции и поэтому фактически с ним совпадает. Вместе с тем от градиентно инвариантного выражения (2.2.2) действие в форме (2.2.3) или (2.2.4) отличается членами, содержащими в

подынтегральном выражении 4-дивергенцию . Поэтому эти выражения можно считать эквивалентными только при наложении условия Лоренца (2.1.25)

Однако эта неоднозначность в выборе, действия для свободного безмассового векторного поля является только кажущейся. В § 6 мы увидим, что при выборе действия в форме (2.2.3) или (2-2-4) в выражении для энергии поля появятся отрицательные слагаемые, исключить которые можно, только наложив на потенциал условие Лоренца и тем самым фактически переходя к калибровочному инвариантному действию (2.2.2); Таким образом, непротиворечивая, теория безмассового векторного поля, по сути дела, является теорией свободного электромагнитного поля.

Перейдем к установлению вида остальных входящих в действие (2.2.1) членов.

Вид действия для свободной частицы был получен в первой главе. Для системы точечных невзаимодействующих частиц оно имеет вид

Третье слагаемое в (2.2.1) описывает взаимодействие частиц с электромагнитным полем и должно представлять собой интеграл от произведения величины, относящейся к частице, на величину, характеризующую электромагнитное поле. Уравнения поля получаются при варьировании действия по переменным поля. В результате мы должны получить уравнения Максвелла (2.1.6). В правой части этих уравнений стоит -ток Вместе с тем с точки зрения вариационного исчисления правая часть уравнений поля есть вариационная производная Это предопределяет выбор взаимодействия в следующем виде:

Коэффициент перед интегралом в правой части этого равенства выбран таким образом, чтобы получить нужный знак перед источником в правой части полученных с помощью вариационного принципа уравнений.

Выбранное в форме (2.2.6) взаимодействие на первый взгляд не удовлетворяет принципу калибровочной инвариантности. Действительно, если преобразовать -потенциал в соответствии с (2.1.22), то при этом (2.2.6) заменится на выражение

Воспользуемся тождеством

Интеграл по -объему от первого слагаемого по теореме Гаусса сводится к интегралу по трехмерной гиперповерхности, охватывающей 4-объем. При этом выражение для действия (2.2.7) преобразуется к следующему виду:

Поскольку по смыслу принципа наименьшего действия на границе области интегрирования все характеризующие систему величины предполагаются фиксированными, вариация второго слагаемого в (2.2.8) равна нулю. Это значит, что соответствующее слагаемое в выражении для лагранжиана может быть отброшено. Таким образом, для того чтобы действие было калибровочно инвариантным, необходимо и достаточно обращение в нуль третьего слагаемого в правой части . В силу произвольности функции это эквивалентно требованию обращения в нуль дивергенции

В предыдущем параграфе было показано, что это соотношение действительно выполняется в классической электродинамике и выражает собой закон сохранения электрического заряда.

Таким образом, в теории, описывающей электромагнитное поле и взаимодействующие с полем заряженные частицы, оказались тесно связанными два на первый взгляд совершенно различных явления: свойство калибровочной йнварцантности электромагнитного поля и закон сохранения электрического наряда. Мы еще вернемся к этому вопросу в главе, посвященной калибровочным полям.

1
Оглавление
email@scask.ru