§ 2. ДЕЙСТВИЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩЕЙ ИЗ ЗАРЯДОВ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

Рассмотрим, каким образом классическая электродинамика может быть построена в соответствии с общими принципами классической теории поля. Первое, что нужно сделать, — это установить вид действия для свободного электромагнитного поля. После этого в действие следует включить члены, учитывающие взаимодействие электромагнитного поля с заряженной материей и движение зарядов. Итак, для системы, состоящей из заряженных частиц и электромагнитного поля, мы будем искать действие в виде суммы трех слагаемых: действия, описывающего электромагнитное поле действия для свободных частиц и члена, учитывающего взаимодействие зарядов с электромагнитным полем

Получим прежде всего выражение для действия свободного электромагнитного поля. При этом примем во внимание следующие естественные ограничения. Величина а также соответствующий ей лагранжиан должны быть построены только из величий, описывающих электромагнитное поле, и быть релятивистскими инвариантами. Линейность уравнений поля

требует, чтобы действие для поля было билинейным функционалом от -потенциала и его первых производных и не содержало производных более высокого порядка. Градиентная инвариантность уравнений электромагнитного поля означает, что действие должно быть записано только через градиентно-инвариантные величины.

Единственными величинами, удовлетворяющими сформулированным выше требованиям, являются инварианты поля (2.1.16) и (2.1.17). Поэтому лагранжиан теории следует искать в виде их линейной комбинации. Вместе с тем равноправие левых и правых координатных систем заставляет отказаться от инварианта (2.1.17) как возможного члена в общем выражении для лагранжиана свободного электромагнитного поля. Это обусловлено его псевдоскалярным характером. Действительно, введение такого члена в лагранжиан приведет к уравнениям поля, вид которых будет меняться при отражении координатных осей. Таким образом, мы окончательно получаем

Введение в (2.2.2) коэффициента соответствует выбору гауссовой системы единиц. Мы увидим, что действие (2.2.2) действительно приводит к правильным уравнениям для свободного электромагнитного поля.

С точки зрения классической теории поля полученное действие является действием для безмассового векторного поля, которое описывается четырьмя функциями образующими в совокупности -вектор и связанными с тензором соотношением (2.1.21). Если ограничиться требованиями релятивистской инвариантности и линейности уравнений поля, то в качестве действия для безмассового векторного поля мы могли бы взять одно из выражений:

либо

Нетрудно проверить, что в обоих случаях полученные с помощью вариационного принципа уравнения совпадают с уравнением Даламбера (2.1.28). Однако, как было показано в предыдущем параграфе, уравнения Максвелла могут быть получены из (2.1.28) только при наложении условия Лоренца. (2.2.4) отличается от (2.2.3) на интеграл от -дивергенции и поэтому фактически с ним совпадает. Вместе с тем от градиентно инвариантного выражения (2.2.2) действие в форме (2.2.3) или (2.2.4) отличается членами, содержащими в

подынтегральном выражении 4-дивергенцию . Поэтому эти выражения можно считать эквивалентными только при наложении условия Лоренца (2.1.25)

Однако эта неоднозначность в выборе, действия для свободного безмассового векторного поля является только кажущейся. В § 6 мы увидим, что при выборе действия в форме (2.2.3) или (2-2-4) в выражении для энергии поля появятся отрицательные слагаемые, исключить которые можно, только наложив на потенциал условие Лоренца и тем самым фактически переходя к калибровочному инвариантному действию (2.2.2); Таким образом, непротиворечивая, теория безмассового векторного поля, по сути дела, является теорией свободного электромагнитного поля.

Перейдем к установлению вида остальных входящих в действие (2.2.1) членов.

Вид действия для свободной частицы был получен в первой главе. Для системы точечных невзаимодействующих частиц оно имеет вид

Третье слагаемое в (2.2.1) описывает взаимодействие частиц с электромагнитным полем и должно представлять собой интеграл от произведения величины, относящейся к частице, на величину, характеризующую электромагнитное поле. Уравнения поля получаются при варьировании действия по переменным поля. В результате мы должны получить уравнения Максвелла (2.1.6). В правой части этих уравнений стоит -ток Вместе с тем с точки зрения вариационного исчисления правая часть уравнений поля есть вариационная производная Это предопределяет выбор взаимодействия в следующем виде:

Коэффициент перед интегралом в правой части этого равенства выбран таким образом, чтобы получить нужный знак перед источником в правой части полученных с помощью вариационного принципа уравнений.

Выбранное в форме (2.2.6) взаимодействие на первый взгляд не удовлетворяет принципу калибровочной инвариантности. Действительно, если преобразовать -потенциал в соответствии с (2.1.22), то при этом (2.2.6) заменится на выражение

Воспользуемся тождеством

Интеграл по -объему от первого слагаемого по теореме Гаусса сводится к интегралу по трехмерной гиперповерхности, охватывающей 4-объем. При этом выражение для действия (2.2.7) преобразуется к следующему виду:

Поскольку по смыслу принципа наименьшего действия на границе области интегрирования все характеризующие систему величины предполагаются фиксированными, вариация второго слагаемого в (2.2.8) равна нулю. Это значит, что соответствующее слагаемое в выражении для лагранжиана может быть отброшено. Таким образом, для того чтобы действие было калибровочно инвариантным, необходимо и достаточно обращение в нуль третьего слагаемого в правой части . В силу произвольности функции это эквивалентно требованию обращения в нуль дивергенции

В предыдущем параграфе было показано, что это соотношение действительно выполняется в классической электродинамике и выражает собой закон сохранения электрического заряда.

Таким образом, в теории, описывающей электромагнитное поле и взаимодействующие с полем заряженные частицы, оказались тесно связанными два на первый взгляд совершенно различных явления: свойство калибровочной йнварцантности электромагнитного поля и закон сохранения электрического наряда. Мы еще вернемся к этому вопросу в главе, посвященной калибровочным полям.