§ 11. ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ

Решения неоднородных волновых уравнений, которые могут быть получены из (2.10.3) с помощью запаздывающей функции Грина, называются запаздывающими потенциалами. Подставляя выражение для запаздывающей функции Грина (2.10.10) в интеграл (2.10.3) и выполняя интегрирование по времени с помощью -функции, мы получаем

Потенциалы (2.11.1) описывают поле, создаваемое -током Если другие источники отсутствуют, найденное решение описывает полное поле. В тех случаях, когда на бесконечности имеются другие источники, к потенциалу следует добавить соответствующее решение однородного уравнения.

В § 10 мы указывали на возможность релятивистски инвариантного выделения из запаздывающей функции Грина слагаемого, являющегося решением однородного волнового уравнения. Соответствующий вклад в интеграл (2.11.1) является решением уравнения Даламбера, т. е. электромагнитной волной, и описывает поле излучения. Он может быть отличен от нуля только в тех случаях, когда заряженные частицы движутся с ускорением. Это следует из того, что поле статического источника не содержит излучаемой части, и из принципа относительности, в соответствии с которым равномерно и прямолинейно движущийся заряд также не может излучать.

Применим общее выражение для запаздывающих потенциалов (2.11.1) для вычисления поля, создаваемого точечной заряженной частицей, совершающей заданное движение. Для этого удобно записать (2.11.1) в несколько ином виде:

Подставляя явное выражение для -плотности тока точечной частицы (2.1.12) в интеграл (2.11.2) и выполняя интегрирование до мы получаем

Последнее интегрирование может быть выполнено с помощью формулы

где простые нули функции

Окончательное выражение имеет вид

В (2.11.5) введены следующие обозначения:

Момент времени при котором берется правая часть (2.11.5), определяется из уравнения

Можно показать, что так как скорость частицы то это уравнение имеет решение, притом единственное.

Полученный результат может быть записан в явно релятивистски инвариантном виде. Введем -вектор Тогда, учитывая, что -скорость частицы связана с соотношением из (2.11.5) получаем

Здесь и ниже момент собственного времени частицы, соответствующий запаздывающему моменту лабораторного времени.

Потенциалы (2.11.5) или (2.11.7) носят название потенциалов Лиенара — Вихерта.

Воспользовавшись (2.11.7), получим в явном виде тензор электромагнитного поля частицы. При этом удобно исходить из представления -потенциала в виде

Эквивалентность этого выражения и (2.11.7) легко проверить, если выполнить в (2.11.8) интегрирование по с помощью формул (2.10.11) и (2.11.4).

При вычислении тензора поля нам понадобится явный вид производной Дифференцируя равенство (2.11.8) и учитывая, что производная -функции не дает вклада в интеграл, получаем

Воспользуемся равенством

Тогда выражение для производной приводится к виду

и после выполнения интегрирования по частям мы получаем

Вычисляя этот интеграл, находим

Окончательное выражение для тензора электромагнитного поля мы получаем после вычисления производных. Оно имеет следующий вид:

где четырехмерное ускорение частицы.

Используя соотношения (2.1.5), (2.11.10) и переходя к трехмерным обозначениям, выпишем явное выражение для напряженностей электрического и магнитного полей:

где единичный вектор, и все величины в правой части берутся в момент времени (см. (2.11.6)).

Мы видим, что в случае, когда ускорение частицы не равно нулю, в выражении для полей появляются члены, убывающие на больших расстояниях как следовательно, создающие конечный поток энергии через сферу бесконечно большого радиуса. Из (2.11.11) видно, что на бесконечности образуют правую тройку взаимно ортогональных векторов, при этом Таким образом, поле приобретает структуру сферической расходящейся волны. Понятно, что именно эти слагаемые описывают электромагнитное излучение заряженной частицы.