§ 3. САМОДУАЛЬНЫЕ ПОЛЯ ЯНГА — МИЛЛСА

Прежде всего найдем согласно теореме Нётер канонический тензор энергии-импульса

Для полей Янга — Миллса получим, дифференцируя (3.2.18),

Этот тензор не симметричен, что, как указывалось в гл. I, является следствием векторного характера поля Симметризуем его, добавив дивергенцию

где мы воспользовались уравнениями поля

Тогда

и тензор энергии импульса после добавления к нему данной дивергенции приобретает симметричный вид:

или

По аналогии с электродинамикой антисимметричный тензор поля можно разбить на электрическую и магнитную составляющие

Тогда отдельные компоненты (3.3.4) могут быть выписаны в явном виде:

Введем теперь дуальный тензор

Легко проверить, что переход от тензора к дуальному тензору соответствует следующей замене компонент первого тензора:

Из компонент двух введенных таким образом тензоров, как и в электродинамике, можно составить инварианты

Кроме тоео, как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, имеют место тождества

С помощью этих тождеств преобразуем выражение для тензора энергии-импульса (3.3.4)

Как видно, тензор энергии-импульса обращается в нуль на классах полей, которые удовлетворяют равенствам

и называются соответственно а) самодуальными и б) антисамодуальными полями. В терминах напряженностей условия (3.3.12) записываются в виде

Заметим, что мнимая единица в этих условиях появляется вследствие псевдоевклидовости метрики пространства Минковского, благодаря чему повторное применение операции дуальности дает

Важнейшим свойством (анти) самодуальных полей является то, что они обеспечивают экстремум функционала действия и тем самым удовлетворяют уравнениям поля. Само по себе условие (анти) самодуальности эквивалентно тому, что

соответствующие поля представляют собой решения уравнений поля Янга — Миллса. Покажем это.

Прежде всего следует убедиться, что дуальный тензор удовлетворяет уравнениям поля автоматически, в силу своего определения. Возьмем удлиненную производную

Первые два слагаемых в последнем равенстве взаимно уничтожаются, а последнее с учетом тождества Ьаъй обращается в нуль. Таким образом, в дополнение к лагранжевым уравнениям для полей Янга — Миллса (3.2.20) получаем еще уравнения

которые, так же как и в максвелловском случае, удовлетворяются тождественно в силу определения тензора поля через потенциалы. Если же поля являются самодуальными или антисамодуальными то из уравнения (3.3.13) следуют уравнения поля (3.2.20), т. е. такие поля действительно являются решениями полевых уравнений и обеспечивают экстремум действия. Относительно потенциалов условия самодуальности представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка, в то время как уравнения Лагранжа — второго порядка.