§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ

Прежде всего рассмотрим некоторые общие требования, которым должны удовлетворять теории поля. Поскольку классическая динамика поля определяется его действием, то требования должны предъявляться именно к действию

Перечислим эти требования.

1. Релятивистская инвариантность. Действие должно быть инвариантом группы Пуанкаре, т. е. не изменяться под дейст: вием преобразований Лоренца трансляций. Объем инвариантен относительно собственных преобразований Лоренца и трансляций, поэтому лагранжева плотность 2? должна зависеть от соответствующих инвариантов.

2. Локальность. Функции поля, от которых зависит функционал действия, должны зависеть от одной и той же точки как в (1.6.1).

3. Действительность. В действие входят только действительные комбинации функций поля и их производных. В противном случае действие поля приобрело бы мнимую часть, а вместе с ним и энергия поля стала бы комплексной, что с точки зрения квантовой теории свидетельствовало бы о возможности рождения и поглощения частиц поля «из ничего», т. е. из вакуума.

4. В лагранжиан входят производные не выше первого порядка. В этом случае уравнения поля оказываются не выше второго порядка.

5. Инвариантность относительно так называемых внутренних симметрий, определяемых структурой теории. К таким симметриям относится, например, изотопическая симметрия полей, соответствующих нуклонам, т. е. протонам, нейтронам и пи-мезонам, входящим в состав ядра. Другим важным примером является калибровочная симметрия, определяющая характер взаимодействия полей материи, а именно электромагнитного взаимодействия, слабого взаимодействия (распады частиц) и сильного взаимодействия, удерживающего нуклоны в ядрах (хромодинамика, основанная на цветовой симметрии), — см. ниже.

Простейшим примером релятивистского поля является действительное скалярное поле. Это однокомпонентное поле, инвариантное относительно преобразований группы Пуанкаре:

Лагранжиан такого поля, отвечающий перечисленным выше требованиям, может быть записан в виде

Уравнение поля

где оператор Даламбера, называется уравнением Клейна — Гордона. Чаетное решение данного уравнения находим в виде плоской монохроматической волны

где т. е. откуда

По существу, вектор в данном решении с точки зрения классической теории является волновым вектором, имеющим размерность (длина). Корпускулярная интерпретация волны основана на понятии волны де Бройля, отражающей волновые свойства квантовых частиц. Такая волна записывается в виде

где постоянная Планка, представляющая собой квант действия. Вектор определяется как импульс, а энергия частицы. При этом

длина соответствующей волны де Бройля связана с импульсом соотношением

Не останавливаясь подробно на соответствии классической и квантовой теорий, подчеркнем еще раз, что уравнение для классического поля после проведения процедуры квантования поля «нтерпретируется как одночастичное уравнение для частицы — кванта этого поля. Произвольное состояние квантового поля представляется как совокупность некоторого числа частиц — квантов, находящихся в различных возможных одночастичных состояниях с энергией и импульсами . В дальнейшем, так же как и в приведенной выше формуле (1.6.5), будем при обращении к корпускулярной интерпретации волновых решений использовать систему единиц и тогда импульс частицы будет иметь размерность волнового вектора, т. е. Таким образом, может быть назван -вектором импульса частицы массы сопоставляемой данному полю (1.6.5).

Рассмотрим теперь более сложный случай, когда лагранжева плотность поля имеет вид

где квадратичная функция, как для свободного поля, а содержит самодействие поля, например

Это так называемая модель Хиггса. Здесь параметр а параметр может иметь любой знак. Если , то «потенциальная энергия» имеет мицимум при и тогда, пренебрегая членом получаем свободные частицы с массой Поправки порядка определяют самодействие поля и могут быть учтены приближенно как малые возмущения. Если же то минимум «потенциальной энергии» достигается при

На этот раз получаем два минимума, т. е. два возможных решения, при которых энергия поля минимальна Такие решения (1.6.9) называются, используя квантовую терминологию, вакуумными решениями. Раскладывая (1.6.8) вблизи одного из решений (1.6.9), например

счнтая малым, находим в квадратичном приближении

где масса частицы, отвечающей решению (1.6.10) (хиггсовская частица). Заметим, что исходный лагранжиан (1.6.7) симметричен относительно отражений, т. е. замены знака, . В случае решение сохраняет симметрию лагранжиана, а при необходимо сделать выбор вакуумного решения (1.6.9) и соответствующего «возбужденного» решения типа При этом симметрия исходного лагранжиана нарушается, так как решение этой симметрией уже не обладает (спонтанное нарушение симметрии).

Рассмотрим теперь комплексное поле и от действительной и мнимой частей перейдем к полю и комплексно сопряженному полю Соответствующий лагранжиан свободного комплексного поля

действителен и симметричен относительно преобразований унитарной однопараметрической группы :

Унитарность состоит в том, что квадрат модуля поля при операциях группы не меняется:

Применяя теорему Нётер и учитывая, что преобразования (1.6.12) не затрагивают координат, т. е. с помощью (1.5.11) находим сохраняющийся ток Нётер:

где . В итоге находим так называемый электромагнитный ток

и электрический заряд

Полученные выражения для сохраняющихся величин (1.6.13) и (1.6.14) совершенно общие, так как под и можно понимать многокомпонентные поля и суммировать вклад всех компонент. В случае скалярного поля с лагранжианом (1.6.11) получим

или, выписывая отдельно временную и пространственную части:

— плотность заряда,

— плотность тока.

Теперь обратимся к преобразованиям группы Пуанкаре. В случае трансляций в формуле для тока Нётер (1.5.11) имеем

Последнее равенство в (1.6.15) обусловлено инвариантностью полей относительно трансляций (однородность пространства):

Таким образом, сохраняющийся нётеровский ток из (1.5.11) будет иметь вид

Это определение также совершенно общее, т. е. применимо для любого поля. Оно дает тензор энергии-импульса, интеграл от нулевой компоненты которого определяет -импульс поля:

Действительно, нулевая компонента этого вектора

совпадает с энергией поля, определенной в (1.4.10). Пространственные компоненты образуют вектор импульса поля

Для действительного скалярного поля имеем

или, поднимая индекс,

— симметричный тензор энергии-импульса. Плотность энергии

Если то плотность энергии — знакоопределенная величина,

Обратимся теперь к собственным преобразованиям Лоренца. Рассмотрим сначала слагаемое в выражении для тока Нё-тер (1.5.11), пропорциональное

Вспомним, что согласно (1.3.18)

Поэтому

Подставляя последнее равенство в (1.6.21), получим

— так называемый тензор орбитального момента поля. Он обладает свойством антисимметрии: -Интеграл от нулевой компоненты (1.6.22) определяет полный тензор орбитального момента поля

Обратим внимание на обратный порядок нижних индексов подынтегрального выражения. Три компоненты тензора (1.6.23) связаны с компонентами псевдовектора орбитального момента поля

Для скалярного поля имеем )

— тензор орбитального момента скалярного поля. В общем случае следует рассмотреть слагаемое в токе Нётер, пропорциональное

Оно определяет тензор собственного момента или спина поля

В сумме орбитальный и спиновый моменты составляют полный момент поля: который согласно теореме Нётер и сохраняется:

В случае скалярного поля спин равен нулю, и сохраняется момент:

Из первого равенства следует с учетом сохранения энергии-импульса

т. е. тензор энергии-импульса скалярного поля симметричен. В общем случае полей, обладающих нетривиальными трансформационными свойствами относительно преобразований Лоренца, и тензор энергии-импульса несимметричен, однако он может быть сделан таковым согласно (1.5.15) добавлением дивергенции подходящего антисимметричного тензора.

В качестве упражнения предоставляем читателю вывеет» соответствующие полученным выше выражения для тензоров энергии-импульса и момента заряженного (комплексного) скалярного поля.