2.4. ТЕОРИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СЛУЧАЕ НЕНУЛЕВОЙ ГИПОТЕЗЫ

Сначала, имея в виду применения в гл. 6, мы рассмотрим ненулевой случай, по существу, модель (1.3.4), для которой

Совместное распределение очков

Пусть число случаев, в которых предпочтительнее, чем сравнениях. Совместное распределение этих независимых переменных дается выражением

Результаты можно записать в виде

Следовательно, совместное распределение любых значений получается суммированием (2.4.1) с учетом ограничений на значений, которые накладываются (2.4.2); в частности, если распределение вероятностей вектора значений имеет вид

где обозначает набор вероятностей предпочтения а ограничения (2.4.2). Если все обтекты эквивалентны, (2.4.3) дает

Так как должна быть симметричной функцией значений, мы имеем, между прочим, что

симметрична относительно Функция дает число путей, которые приводят к а, и тесно связана с частотами наборов из § 2.2. Последние дают число возможных наборов при очках независимо от порядка, и его можно обозначить Из соображений симметрии мы имеем

где число всех данных со значением

Средние, дисперсии и ковариации значений

Если число очков, полученных объектом повторении (реплике), мы сразу же имеем

Для нахождения ковариации рассмотрим дисперсию для удобства полагая Тогда

Отсюда Из независимости повторных сравнений следует, что

Разности значений

Особый интерес для последующей работы представляет распределение вектора разностей

Случайная величина имеет среднее

и дисперсию

Так же получается ковариация

Теперь

имеют для любого заданного у средние, дисперсии и ковариации и об соответственно. Из независимости реплик (повтсров) и многомерной центральной предельной теоремы (например, [3]) следует, что предельное распределение при вектора будет многомерным нормальным , где - матрица

Замечания

Предположим, что в двух множествах попарных сравнений пяти объектов мы имеем для за исключением того, что в первом множестве и во втором множестве В обоих случаях есть единственная несовместимость по срявненню с ранжировкой С другой сторны эти множества имеют возрастание своих исходов экспериментое [3310], [32212] с различным числом циклических триад, а именно . Распределение числа несовместимостей с ближайшей ранжировкой было Слейтером [127], который пропагандировал использование несовместимостей, отличных от циклических триад, как критерия гипотезы о случайности Он доказывает, что каждой несовместимости должен приписываться равный вес, пока не отвергнута. Представляется, что эта точкг зрения пренебрегает тем, что более разумной альтернативой против случайности (отличной от ляпсусов и случайных ошибок) служит предположение, что непоследовательность более правдоподобна, чем 4] Поэтому первое множество сравнений более согласовано с На, чем второе, менее совместимое с что отражено его более низким с-значением.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)