4.3. МОДЕЛЬ БРЭДЛИ-ТЕРРИ - ОЦЕНИВАНИЕ

Брэдли и Терри [17] использовали метод максимального правдоподобия для оценивания «баллов» появившихся в их модели:

С учетом независимости всех сравнений, вероятность наблюдения предпочтений объекта в его сравнениях с равна

функция правдоподобия равна произведению таких вероятностей для всех независимых пар и может быть выражена через суммы очков как

где зависит от Отсюда следует, что достаточные статистики для . Дифференцируя по мы получаем оценки максимального правдоподобия -оценки) для из всех уравнений

взятых вместе с

Мы видим, что функции от и не зависят от индивидуальных в отличие от оценок (4.1.9). Для поиска удобно записать (4.3.2) в форме

Тогда, начиная с исходного набора решений мы можем получить из

продолжая итерационный процесс до тех пор, пока согласие между не будет достаточно хорошим. Используя этот метод, Брэдли и Терри [17] и Брэдли [15] табулировали с двумя десятичными знаками для всех возможных исходов экспериментов размером не большим, чем (3; 10), (4; 8) и (5; 5). Дикстра [35] заметил, что итерационная процедура сходится медленно, поэтому важно найти хорошие начальные значения до вычислений по (4.3.4) в случае, когда размер эксперимента не охватывается таблицами. С этой целью он советовал для начала взять все равными, так что

получая из (4.3.3) в виде

Это приближение к -оценкам может быть еще улучшено заменой в (4.3.5) на где эмпирическая поправка, предложенная Дикстрой и равная

где

Заметил, что сумма из (4.3.5), вообще говоря, не равняется единице. Приближения также не составляют в сумме единицы для но нормировка их на каждом шаге не нужна, так как мы на самом деле работаем с их отношениями, а не с действительными значениями (сравните с [48]).

Форд заметил интересный факт: ранжировка, получаемая по -оценкам, та же, что и получаемая по суммам очков; если то из (4.3.2) следует:

таким образом

Неравное число повторений

Если число сравнений не постоянно, а равно последнее утверждение может, конечно, не выполняться. Однако -оценивание из-за этого изменяется мало: нам нужно просто заменить (4.3.3) на

Сходимость итерационного процесса была установлена Фордом в общем случае при условии выполнения следующего допущения: «В каждом возможном разбиении объектов на 2 непустых подмножества некоторый объект второго множества предпочитается по крайней мере однажды некоторому объекту из первого множества».

Выполнение этого предположения весьма правдоподобно. Если оно нарушается, то существуют два подмножества и вообще без сравнений между множествами или же со всеми сравнениями в пользу В первом случае, очевидно, можно не ранжировать объекты из вместе с любым объектом из В последнем случае, который встречается и в сбалансированном эксперименте с равными наибольшие

значения для объектов должны оказаться равными нулю, так как иначе нам пришлось бы увеличить функцию правдоподобия

умножая эти на общий множитель, меньший чем 1, и оставшиеся на общий множитель, больший чем 1. Эти множители можно выбрать так, чтобы в сумме они давали 1.

Сомножители включающие которые оба принадлежат либо либо остаются неизменными при этой операции. Однако множители, содержащие из из возрастают, из-за чего возрастает и Но если для объектов из должны быть все равны нулю, мы теряем надежду сравнить отдельные объекты в этом процессе. Конечно, мы можем обработать эти объекты совсем отдельно от объектов из

Как указывает Дикстра [37], результаты для неравных полезны также в планируемом эксперименте, где выполняется лишь часть всех возможных сравнений для того, чтобы уменьшить его объем. В этом случае или в соответствии с тем, сравнивается ли или нет. Есть и другие ситуации в планировании, когда не равны (см. гл. 5).

Точность pi

Мы ограничимся изложением свойств оценок в больших выборках случая равных хотя эти результаты могут быть обобщены и на случай неравных повторений [37]. Пусть

Опираясь на стандартную теорию и учитывая ограничение Брэдли [16] показал, что имеет, при вырожденное многомерное нормальное распределение размерности в пространстве размерности с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей а, определенной равенством

где (1), (1) обозначают соответственно вектор-строку и вектор-столбец из единиц.