2.3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ОЧКОВ И ФУНЧЦИЙ ОТ НИХ

В этом разделе мы получим распределение различных функций от очков в сбалансированном эксперименте с объектами и повторениями (репликами), если верна нуль-гипотеза. Результаты будут использованы в гл. 3 для построения ряда критериев значимости при проверке эквивалентности объектов.

Сами очки

Так как при гипотезе о случайности объект с вероятногтьк превосходит в каждом из сравнений любой из объектов, очки распределены биномиально

Совместнее распределение очков

Рассмотрим сначала случай Для нахождения совместного распределения двух значений, которые без потери общности можно положить равными заметим, что можно различать два случая.

соответствующих Если то должны предпочитаться соответственно объектам из оставшихся штук и т. д. Таким образом,

Это соображение можно распространить на совместное распределение рассматривая исходов сравнении только объектов. Если очки в этом частном эксперименте равны окончательные результаты (когда в эксперимент включены все объектов) будут с вероятностью

с учетом соглашения

Отсюда следует, что

где суммирование ведется по всем исходам частного эксперимента, совместимым с окончательными данными. Для обобщается до

Альтернативный подход дан в § 2.4.

Разность двух значений

Распределение случайной величины можно, конечно, получить из совместного распределения Распределение сходится к нормальному при возрастании или Это следует из того (упражнение 2.4), что характеристическая функция случайной величины равная

сходится с ростом или

Найдем теперь точное выражение для

где положительное целое число. Мы имеем

Равенство коэффициентов в разложении обеих сторон тождества

дает

Подставляя (2.3.7) в (2 3.6), мы получаем

Наибольшее значение x1

Для I и , не больших, чем в исходных таблицах § 2.2, легко построить распределение вероятностей Обычно оно требуется лишь для больших значений Поэтому мы опишем метод, который удобен в нашем случае, и применим также для больших значений

Пусть событие При ясно, что

Тогда принципу включения и исключения получаем

Для больших последние члены в сумме будут в основном нули и лишь несколько значений могут оказаться большими. В частности, только наибольшее значение может превышать так что для

Точная оценка вероятности значительно более трудоемка для малых значений однако часп) используется простое приближение. Предположим, что достаточновелико, так что тогда можно применить неравенства Бонферрони, после чего получаем

Так как сумма очков постоянна, мы имеем

и поэтому

Отсюда следует, что

Поскольку можно вычислить прямо или по таблицам биномиального распределения, легко получить границы для Так, если имеем

и расстояние между двумя границами уменьшается при уменьшении или

Сумма квадратов значений

Так как значение распределено биномиально

имеет нулевое среднее и дисперсию Зная также, что и что симметрично кор релированы с коэффициентом корреляции, скяжем, мы имеем

так что Матрица ковариации случайного вектора поэтому есть -матриц а с элементами на главной диагонали и вне ее. Из многомерной центральной предельной теоремы (см., например, [3]) следует, что асимптотическое распределение при нормальное Кроме того, определитель

так что имеет характеристических корней, равных 1, а остальные равны нулю. Как показано у Крамера [27, § 24.5], вышеупомянутый результат достаточен, чтобы доказать, что

имеет предельное -распределение с степенями свободы при

Действительно, можно было ожидать, что будет приближенно распределено как что Еерно, когда не слишком мало, приближенно нормальны можно приблизить, применив ортогональное преобразование в где некоррелированы и имеют приближенно нормированное нормальное распределение.

Аппроксимацию -распределением для предложил Дарбин [34] и проверил Старке [128] сравнением с точными результатами,

попуценными из исходных таблиц, которые приведены в 2.2. Это приближение оказывается в разумной степени удовлетворительным в окрестности верхней -процентной точки и выше и может быть с некоторым доверием использовано за пределами табл. 1 приложения, которая построена по исходным таблицам [138]. Удивительно, что это простое приближение, в общем вполне эффективно около верхних процентных точек, как и более сложные приближения, которые предлагались.

Размах результатов

Из предыдущего мы можем ожидать, что распределение размаха величин будет асимптотически такое же, как распределение размаха Для независимых нормальных переменных с дисперсией

(сравните с [75]). Функцию распределения можно получить из [114, табл. 23]. Следовательно, легко достижимое приближение для (размах ) и его точность будет улучшаться по мере роста Эмпирически установлено, что лучшее приближение получается, с учетом поправки на непрерывность (половины обычного значения), для приближающей функции