Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ

4.1. ОБЩИЙ ПОДХОД

Линейная модель была определена в § 1.3. Прежде чем детально рассмотреть некоторые ее важные модификации, мы остановимся на общем подходе, которым пользовался Ноэзер [112]. Первой решенной им задачей было оценивание ценностей Так как начало координат на линейной шкале выбирается произвсльно, удобно ввести ограничение

которое допускает единственную оценку (другая возможность состоит в том, чтобы положить наименьшую ценность — равной нулю, но (4.1.1) имеет некоторые преимущества благодаря симметрии). Пусть

так что вероятность предпочтения равна:

а функция распределения, соответствующая выбранной линейной модели. Суммируя по всем отличным от мы имеем

или

Это приводит к следующему методу нахождения оценок для в сбалансированном эксперименте парных сравнений с повторами. Пусть доля предпочтений объекта объекту Подобно тому, как в (4.1.3) определяется определим

тогда

Трудности возникают тотчас же, если или и если Н — функция распределения неограниченной случайной величины; при получении конечной величины для имеется возможность заменить наблюдаемые значения (0 или 1) на или соответственно.

Вообще говоря, невозможно удовлетворить соотношениям отвечающим (4.1.2), так как уравнений больше, чем неизвестных. Однако эти соотношения могут выполняться «в среднем» в смысле (4.1.4), в предположении

Оценки полученные этим способом, есть оценки по методу (не взвешенных) наименьших квадратов, они минимизируют

для

что дает (4.1.7) как решение уравнений

Понятно, что возможны другие оценки но простые оценки (4.1.7) имеют те преимущества, что метод вычисления один и тот же при любой функции распределения Это свойство, вообще говоря, не сохраняется для случая оценок, основанных на методах максимального

правдоподобия, минимума хи-квадрат Для рассмотренного выше способа нужна формула или таблицы функции или лучше чтобы по данному получать из (4.1.5) как

Модель Тэрстоуна-Мостеллера

Здесь следовательно, немедленно получаются из таблиц, дающих нормированную нормальную случайную величину, превышаемую с вероятностью (например, 1114, табл. 4] или [46, табл. IX]).

Еще проще использование ранкитов, как предложено Блиссом и др. [8], превратившими в ожидаемое значение наибольшего члена случайной выборки объема из совокупности нормированных нормальных случайных величин. Эти ранкиты (или нормализованные «очки») приближенно равны и могут быть найдены сразу для из табл. XX [46] или табл. 28 [114]. Теперь для значений — или 1 нет трудностей. Более подробные таблицы даны в [74].

Модель Брэдли — Терри

Из (1.3.10) находим, что

и, следовательно, что

— преобразование, которое упрощается благодаря табл, XI в [46]. В обычной записи мы поэтому имеем

Однако надо заметить, что оценивают параметры, скажем, VI, для которых

т. е. параметры не удовлетворяют ограничению которое использовалось Брэдли и Терри, но

Параметры надо лишь нормировать для получения с помощью формулы

которая показывает, что

Равномерное распределение

Этот важный случай возникает, если мы положим Тогда и

т. е. линейные функции очков (строчные сумм) и ранжирование объектов по значениям то же, что и по Взяв математические ожидания, мы получим

Таким образом, с точки зрения оценивания ценности предположение о равномерном расгределнии эквивалентно работе очками, как в предыдущих двух главах. Конечно, предыдущие предположения более сильные и определяют как функции от поскольку

Ноэзер утверждает, что в той степени, в какой все функции приближенно линейны в окрестности можно ожидать, что для множества которые не слишком отличаются друг от друга, оценки будут приближенно эквивалентны оценкам, полученным для равномерного распределения, независимо от того, используется ли фактически функция Действчтельно, если не слишком мало, мы имеем приближенно

где Отсюда следует, что. если не слишксм различаются, хорошим приближением будет обычно

или

что равно (4.1.10) с точностью до псстоянного сомножителя

Проверка гипотезы ...

Прежде чем использовать известный набор оценок полезно установить, что соответствующие не равны. Это можно тать проверкой (и отбрасыванием) гипотезы с помощью статистики

где подстрочный индекс указывает, что вычислялись из (4.1.7) с использованием функции Поскольку (4.1.12) выполняется асимптотически, если верна нуль-гипотеза, то

так что распределено как степенями свободы и асимптотически аквивалентно -статистике из § 2.3. Это значит: интересен лишь асимптотический критерий нуль-гипотезы делает безразличным выбор закона распределения