7.4. МЕТОДИКА ШЕФФЕ

Шеффе [122] предложил метод анализа экспериментов парных сравнений, включающих две особенности:

1) применение 7- или 9-точечной шкалы предпочтений;

2) введение специальных предположений о возможном эффекте порядка представления эксперту объектов в парах.

Вторая особенность требует пояснений. Хотя уже Фехнер всегда принимал во внимание, как важные, «пространственный» и «временной» эффекты, мы до сих пор не обращали на них внимания во всех способах анализа. Зная, что порядковые эффекты могут вызвать смещение результатов, мы имеем возможность сбалансировать их на стадии

планирования эксперимента Если их влияние невелико или не представляет интереса, то этого довольно. Рассмотрим, например, случай четного числа сравнений по в каждом из порядков предъявления. Пусть означают вероятности, с которыми когда А предъявляется первым и вторым соответственно, и пусть соответствующие числа предпочтений для А. Тогда есть несмещенная оценка средней вероятности предпочтения. Дисперсия равна:

что демонстрирует обычно уменьшение, обусловленное неоднородностью. Видно, что должно быть весьма большим, чтобы уменьшение стало заметным. Более того, неучет неоднородности приводит к затруднениям при установлении различия между (сравните § 3.2).

В методике Шеффе должны различаться упорядоченные пары и Пусть очки сравнении первой пары. Мы используем здесь термин «очки» в несколько измененном смысле: для -точечной шкалы. Затем очки причем очки сравнении Общая сумма очков для по всем сравнениям с есть

Предполагается, что все независимы и что для фиксированной упорядоченной пары все случайных величин имеют одно математическое ожидание и дисперсию которая не зависит от Для критериев значимости и доверительных границ добавляется допущение о нормальности очков. Это последнее предположение может быть в лучшем случае приближенно верным; то, что дисперсия одинакова для всех пар, также сомнительно. Все же может случиться, что эти предположения не опровергаются полностью последующим дисперсионным анализом с точки зрения общей устойчивости (робастности) анализа для сбалансированных экспериментов. Также предполагается, что каждое сравнение выполняется различными экспертами, всего требуется экспертов, причем они выбираются случайным образом из интересующей нас генеральной совокупности. Как было сказано в § 7.1, такая организация эксперимента применима к тестированию потребителей, но ее можно приспособить и для других ситуаций.

Пусть математическое ожидание очков предпочтения для в упорядоченных парах есть — соответственно. Обозначим среднее из них как

а их разность — через

Так, есть разность «от порядка представления» в математическом ожидании предпочтений для против в то время как среднее предпочтение для против , усредненное по двум упорядоченным парам. Мы замечаем, что

Мы можем также определить средний эффект порядка

Шеффе вводит теперь гипотезу о «разностности», которая есть просто гипотеза линейности, а именно, что существуют параметры для которых

Отклонение от разностности измеряется параметром так что в общем случае мы можем написать:

где очевидно, удовлетворяет соотношениям

С другой стороны, можно выразить через

Оценки по методу наименьших квадратов получаются сразу. Начнем с

можно оценить по очереди из (7.4.1), (7.4.2), (7.4.3) и (7.4.6).

Очки можно выразить так:

где ошибки в правой части есть случайные величины. Несмещенная оценка дисперсии равна:

Сумма квадратов ошибки определяется в табл. 7.1, которая дает разложение общей суммы квадратов очков Можно построить приближенный критерий -отношения.

Таблица 7.1 (см. скан) Разбиение суммы квадратов очков

Параметры нецентральности в последнем столбце табл. 7.1. определяются [141] следующим образом:

Шеффе снабдил анализ примерами и обсудил построение доверительных интервалов для разностей

Модель Тэрстоуна для дисперсионного анализа, предложенного Шеффе, была дана Юэре при следующих допущениях:

а) наблюдаемые ценности объекта нормальны

б) случайные величины представляющие предпочтение против , когда они предъявляются в порядке нормальны Величины можно разложить:

где есть отклонения от разности и эффекты порядка, удовлетворяющие тем же условиям, которые были сформулированы выше для

в) для -точечной системы шкала делится на части и очки располагают для следующим образом:

Вероятность того, что наберет очков против поэтому равна:

где функция нормированного нормального распределения. Если

то для малых различий между объектами можно найти приближенные соотношения между параметрами моделей Юэре и Шеффе. Юэре также рассмотрел мощность критерия Шеффе для главных эффектов и использовал ее для первого приближения к оптимальной системе очков.