4.6. ТРЕХКОМПОНЕНТКАЯ МОДЕЛЬ БОКА

Обсуждавшиеся до сих пор линейные модели не позволяют учитывать возможные различия между экспертами. Бок [111 предложил, чтобы наблюдаемая ценность объекта в его сравнении с экспертом у была представлена в виде

где скобки, в которые взято указывают, что этот нижний индекс служит просто обозначением. Малые буквы обозначают случайные величины, взаимно независимые величины. Особая черта этой модели заключается в компонентах, которые характеризуют определенные объекты и экспертов, независимо от выборки экспертов. Для одного и того же эксперта они коррелированы, имеют двумерное нормальное распределение Это допущение равносильно представлению в виде суммы нормально распределенного эффекта от экспертов и нормально распределенного эффекта взаимодействия. «Смешанная» природа модели отражает особый интерес к объектам, но эксперты рассматриваются лишь как выборка из бесконечной совокупности экспертов. Если мы положим то заметим, что оно нормально распределено с математическим ожиданием и дисперсией откуда следует, что модель линейна. Полагая дисперсию равной единице, мы получаем

где функция распределения единичной нормальной переменной, как в модели Тэрстоуна-Мостеллера. Может показаться, что это одна и та же модель, если сделана стандартизация. Однако в данном случае сравнения различны для общего объекта и выполняются не независимо для одного и того же эксперта с ковариацией

В терминах характеристических случайных переменных из § 1.3 мы имеем, например,

и

Поскольку то

и

Исходя из соображений, рассмотренных в 4.2, Бок применил тригонометрическое преобразование (4.2.1) к Хотя это преобразование приближенно стабилизирует дисперсию для больших оно, как все такие преобразования, оставляет корреляцию неизменной. Она равна:

Для того чтобы получить решение, с которым можно работать в трехкомпонентной модели, Бок предположил, что эта корреляция скажем) одна и та же для всех допущение, которое, как мы

говорили, не будет хорошим в общем случае, но в случае, когда все близки к 1/2, приемлемо. Это так близко к нулевой гипотезе, что даже для больших требуется чувствительный критерий.

Подчиняясь различным введенным приближениям, мы выразим в виде

где ценность объекта на преобразованной шкале, Удобно положить Тогда случайная ошибка имеет следующие свойства:

и для не равных между собой

Если

то сумма квадратов между строками матрицы есть

и равна сумме квадратов между столбцами Из (4.6.2) мы имеем

так что с учетом (4.6.3) и (4.6.4)

Аналогично остаточная сумма квадратов

имеет математическое ожидание

Эти результаты могут быть сведены в таблицу дисперсионного анализа.

(см. скан)

За исключением приближения нормального распределения угловым, критерий согласия Мостеллера эквивалентен приближению распределением степенями свободы.

Но для мы видим, что имеет малое математическое ожидание. Модель Бока, таким образом, может использоваться для учета отклонений критерия Мостеллера.

Также можно заметить из таблицы, что при проверке эквивалентности объектов, пользуясь как -распределенной случайной величиной с степенями свободы, мы можем отвергать гипотезу так же легко и при

Замечания

Наше рассмотрение важной модели Тэрстоуна-Мостеллера и других «случаев» (см. упражнение 1.5) отличается от того, которое было проведено Тэрстоуном [132] и вкратце обобщено Джонсом и Боком и Торгерсоном [137]. Более специальные ссылки, видимо, можно извлечь из обсуждения случая неполных данных у Галликсена [63] и в работах Мостеллера [108b], Гибсона [52], Берроса и Гибсона [19].