5.3. ПЛАНЫ ПАРНЫХ СРАВНЕНИЙ СО СВЯЗЯМИ (ЦЕПНЫЕ)

Если есть несколько экспертов и одна из целей эксперимента парных сравнений состоит в измерении согласия между ними, то естественно требовать, чтобы эксперимент был сбалансирован по экспертам в некотором смысле так же хорошо, как и по объектам. А это значит, что каждая пара экспертов должна иметь некоторые общие сравнения. Рассмотрим, например, случай 4 объектов, когда трудно делать сравнения. Мы можем взять план 1 из табл. 5.1 и заметить, что для -плана нужны 4 сравнения с двумя ассоциативными классами. Для получения баланса нам надо положить (или кратным трем) экспертам и можно разместить сравнения следующим образом:

что немедленно получается из трех групп размером :

В результате получается эксперимент, в котором каждый эксперт имеет дело с высокосбалансированным множеством и каждая пара экспертов имеет по два общих сравнения. Однако требования к парам, сравниваемым одним экспертом, смягчаются в общем случае ради достижения полного баланса.

Бозе [12] рассмотрел этот предмет систематически, и приведенный выше план — в действительности первый из его планов, воспроизведенных в табл. 5.4. Пусть число пар объектов, сравниваемых каждым экспертом. Для обеспечения симметрии между объектами и экспертами Бозе ввел планы со связями, требующие, чтобы:

а) среди пар, сравниваемых каждым из экспертов, каждый объект появлялся одинаково часто, скажем, а раз;

б) каждая пара сравнивалась экспертами,

в) для любых двух данных экспертов было в точности пар, которые сравниваются ими обоими.

Так, для эксперимента (5.3.1) мы имеем:

где есть число возможных пар.

В общем случае ясно, что

Есть, видимо, некоторое неуловимое соответствие между планами парного сравнения со связями и сбалансированными неполноблочными планами. Можно рассматривать соответствия между экспертами и обработками, между парами объектов и блоками. Если пара сравнивается с экспертом, то блок, соответствующий паре, можно рассматривать как содержащий обработку, соответствующую эксперту. Рис. 5.3 иллюстрирует соответствие для (5.3.1).

Рис. 5.3.

Отсюда, если план парных сравнений рассмотренного типа существует, должен существовать и соответствующий -план с обработками и блоками, так что каждый блок содержит обработок; каждая обработка встречается в блоках и две данные обработки встречаются в К блоках. Из этого следует, что

Подставляя мы можем написать первое из этих уравнений как

Надо помнить, что существование -плана с параметрами не обеспечивает существование соответствующего плана парных сравнений со связями, что обусловлено дополнительным ограничением По поводу построения планов 1—3 табл. 5.4 (и большего плана для мы отсылаем читателя к работе Бозе. Мы приведем теперь его весьма общий метод получения планов парных сравнений со связями. Сначала предположим, что число объектов четно, скажем, Тогда мы можем разделить пары на множества по пар в каждом, так что каждый объект встречается в точности один раз среди пар из некоторого множества.

Например, если мы можем взять в качестве объектов Тогда 5 наборов таковы:

В общем случае набора могут быть получены разложением по начального набора

объект остается неизменным.

Возьмем сейчас -илан с обработками, блоками, повторениями, блок размера в котором каждая пара обработок встречается вместе в любом блоке раз; поставим в соответствие каждому блоку один набор и каждой обработке одного эксперта. Мы можем тогда получить план парных сравнений со связями, назначая каждому эксперту набор пар, соответствующих всем блокам, в которых обработка соответствует эксперту. Мы получим этим способом план парных сравнений с параметрами:

В случае мы можем начать с -плана, имеющего параметры:

Таблица 5.4 (см. скан) Планы парных сравнений со связями (из [12], с разрешения автора и издателя)

Продолжение табл. 5.4 (см. скан)

Если обработки то блоки

Так как встретились соответственно 1, 3, 4, 5, то мы назначаем множества I, III, IV, V эксперту а и получаем следующий план парных сравнений со связями:

Параметры плана по (5.3.4):

Это план 4 из табл. 5.4 с некоторым изменением номеров объектов. Если число объектов нечетно, скажем, то пар могут быть разделены на циклических множеств по пар каждое, как написано в 5.2. Для эти множества таковы:

Возьмем теперь -план с параметрами

Таблица 5.5 (см. скан) Планы парных сравнений со связями для полученные спомощью (5.3.4) или (5.3.5) из -планов по [24]

Поступая как прежде, мы получим план парных сравнений со связями с параметрами:

В случае -план состоит из трех сравнений трех объектов, даваемых планом 5 табл. 5.4. Подводя итог, мы видим, что каждый -план может быть превращен в план парных сравнений со связями: если числе блоков в первом четное, мы можем исгешзовать (5.3.5); если это число нечетное, мы можем выбирать между (5.3.4) и (5.3.5). Из списка -планов (например, [46, табл. XVIII] или [24, табл. 9.5]) можно получить много планов парных сравнений со связями. Планы 1 и 4 —7 табл. 5.4 — лишь некоторые из тех, что могут быть получены этим способом (упражнение 5.3). Каталог для дается в табл. 5.5.

Некоторые из этих планов рассматривались Кендэлом [89], который также обсуждал, насколько хорошо сбалансированы размещения.

Упражнения

(см. скан)