2.2. ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

Как мы видели, результаты эксперимента парных сравнений можно суммировать в виде вектора очков где

Для многих целей нумерации объектов последовательность, в которой расположены очки, неважна, и можно заменить размещением где просто величины переставленные в убывающем порядке, число случаев, когда наибольшее значение есть Отсюда следует, что

Распределение вероятностей допустимых размещений служит важной основой, так как из него можно получить распределения всех статистик критериев, таких, как которые являются функциями очков. Когда гипотеза случайности верна, частоты различных размещений дают ту же информацию, что и распределение, так как их можно превратить в вероятности делением на

Один из возможных подходов к задаче перечисления — рассмотрение производящей функции

произведение членов которой соответствует сделанным сравнениям. Разложение содержит членов, показатели степеней которых дают возможные наборы очков, например

где складываются 6 членов. Таким образом, есть 6 исходов типа то и 2 исхода типа симметрична относительно и разлагается как (2.2.2) в сумму одночленных симметричных функций. В табл. 2.1 приведены наборы очков и их частоты для Таблица была построена и ее можно продолжить (см. [28]), замечая, что

где

(Ь) наборы

имеют одинаковые частоты, так как одно из другого можно получить заменой побед на поражения.

Таблица 2.1 (см. скан) Наборы очков и их частоты в эксперименте простого парного сравнения объектов (из [28], с разрешения издателя)

Возможно, заслуживают внимания три обобщения (2.2.1), хотя и без ни: легко получить решение задач перечисления.

1. Если для всех произведено не одно, а сравнений соответствующая производящая функция

2. Если с вероятностью для всех то можно записать в виде

который порождает вероятности различных наборов.

3. Предположим, что вместо двухточечной шкалы (1 и 0) оценивание ведется по -точечной шкале с общей суммой очков, в любом отдельном сравнении все же равной единице. Тогда

порождает возможные исходы. Это включает случай, когда разрешены ничьи так же, как и прямые предпочтения (). Первое обобщение представляет особый интерес для при всех которому соответствует сбалансированный эксперимент парных сравнений с повторениями. Производящая функция для этого случая есть просто и таблицы наборов (размещений) и их частот для параметров можно построить из наборов и частот для в табл. 2.1. Травинский [138] табулировал все случаи до и (5; 3) в дополнение к Очень похожие таблицы были построены ранее Брэдли и Терри [17] и Брэдли [15].