4.4. МОДЕЛЬ БРЭДЛИ—ТЕРРИ — ПРОВГРКИ ГИПОТЕЗ

В случае, когда вероятности парных сравнений описываются моделью Брэдли-Терри, нулевая гипотеза эквивалентности объектов превращается в

Из (4.3.1) соответствующая функция правдоподобия при равных есть

Критерий для проверки против общей альтернативы о неравенстве можно построить на отношении правдоподобия

Брэдли и Терри [17] использовали вместо него монотонную функцию от К, а именно

После того как найдены -оценки можно вычислить Если это сделано для всех всзможных исходов эксперимента, то можно построить распределение из известных вероятностей индивидуальных исходов, точно так же, как в § 2.3 было получено распределение Положение иллюстрируется для случая в табл. 4.1. В нашчх предыдущих обозначениях первый вход таблицы есть размещение Прочерки говорят что соответствующие , неопределенны по причинам, указанным при обсуждении (4.3.7). Столбец дает вероятность, с которой оценка В, больше или равна табличному значению, когда верна. Последний столбец, который мы добавили, дает значение (это также сумма квадратов Хотя упорядочение ранговых сумм согласуется с возрастающими значениями оно соответствует в данном случае и строго убывающим значениям Таким образом, две статистики вполне эквивалентны как критерии Это не всегда так, но «разногласие», если оно и есть, невелико. Конечно, охват таблиц Брэдли-Терри определяет местонахождение лишь определенных упорядочений рангов (таких, как 7, 7, 11, 11 в табл. 4.1), для которых сразу указывается соответствующее значение Для значений за пределами таблиц, когда и для всех меньших комбинаций с можно считать

Таблица 4.1 (см. скан) Возможные суммы рачгов в случае и соответствующие и с разрешения а второе и издателя)

распределенным приблизительно как степенями свободы при верной нуль-гиготезе С другой стороны, использование статистики из 2.1 ведет к очень похожим результатам при проверке Асимптотическая эквивалентность (при выполнении модели Брэдли и Терри) критериев, основанных на которая была фактически показана Брэдли [16], для ненулевого случая так же справедлива, как и для нулевого. Он рассматривал альтернативную гипотезу

где — последовательность констант, схсцящихся к при к обычно, при построении предельной функции мощности а — это множество альтернатив, приближающихся к с ростом Предельное распределение при статистики —

есть нецентральное степенями свободы и параметром нецентральности

Таким образом, для больших адекватное приближение для мощности получается в предположении о нецентральном -распределении с К, равным

Для данных значений возможно поэтому применить нецентральное -распределение в обычной манере, для того чтобы получить наименьшее гарантирующее с предписанной вероятностью что будет отвергаться критерием с уровнем значимости а.

Пример

Пусть

Мы находим Заглянув в таблицы [113] с мы видим, что Следовательно, наименьшая достаточная величина есть 18.

Брэдли применил этот подход для сравнения асимптотической функции мощности этого критерия и другого, который он называет мультибиномиальным критерием. Последний является объединением независимых биномиальных критериев, что можно сделать по таблице предпочтений с помощью статистики

которая при На имеет асимптотическое нецентральное -распределение с степенями свободы и параметром нецентральности У.

Можно предсказать, что мультибиномиальный критерий, очевидно, здесь плох. Однако этот критерий интересен в тех случаях, когда неприменима линейная модель.

Таким образом, точка зрения о существенной близости всех линейных моделей в окрестности нуль-гипотезы опять (сравните 4.1) приводит к заключению, что простая -статистика дает удовлетворительный критерий для большой выборки.

Асимптотическую функцию мощности -критерия можно сравнить также с ее аналогом в дисперсионном анализе — -критерием для сбалансированного неполноблочного эксперимента с двумя измерениями

на блок. При допущениях линейной модели Элтерен и Ноэзер [40] получили асимптотическую относительную эффективность

которая не зависит от и уменьшается до при нормальной плотности к с дисперсией

Сочетание экспериментов

При использовании критерия (4.4.3) предполагается, что те же самые параметры относятся ко всему эксперименту с повторениями. В более общем случае могут существовать однородных групп, причем в -группе проводится повторений для каждой группы рейтинги равны Внутри такой группы применимы вышеприведенные процедуры, оценивание обеспечено так же, как и аналогично статистике Если есть отношение правдоподобия для объединенного эксперимента, мы имеем вместо (4.4.3)

где

При нулевой гипотезе о полной случайности для всех асимптотически распределена как степенями свободы. В частном случае зависимости от некоторой априорной информации относительно возможных группировок разностей используются либо (4.4.4), либо (4.4.3).

Если интересна не полная случайность, а скорее отсутствие групповых различий для всех и), то критерий для больших выборок получается с помощью выражения

табличной -распределенной случайной величины с степенями свободы. Кажутся целесообразными некоторые предосторожности, так как распределение в конечной выборке зависит от мешающих параметров

Читатель отсылается к работам [17] и [145], в которых рассмотрены численные примеры и приводится дальнейшее обсуждение.

Эксперименты, где объектами были опыты в факторном эксперименте, изучались Абельсоном и Брэдли [1].