7.5. МЕТОДИКА ГУТМАНА

Интересный метод превращения данных парных сравнений в количественные, который не использует специальной модели, был предложен Гутманом [69]. Как и раньше, пусть очки эксперта у для объекта и пусть Далее, пусть есть среднее очков объектов, которые эксперт у ранжирует выше (ниже), чем другие объекты, взвешенное на соответствующие относительные частоты

где Также пусть

Сумму квадратов отклонений очков

можно разложить на 2 слагаемых:

и

суммы квадратов между экспертами и «внутри экспертов» соответственно.

Подход Гутмана сродни дискриминантному анализу и заключается в нахождении очков, минимизирующих вариацию «внутри экспертов», сравниваемых с вариацией группы экспертов в целом. Это значит, что мы делаем 5 как можно меньше или как можно больше по сравнению с Если мы определим корреляционное отношение через то искомые очки и, - получают из уравнений, в которых приравнены к нулю, т. е. из уравнений стационарности

Производные от можно вычислить из (7.5.5) и (7.5.1):

Из (7.5.4) — производные от

Если мы положим

то (7.5.7) можно переписать в виде

Рассмотрим первое подтверждение того, что решение (7.5.9) удовлетворяет Суммируя обе части (7.5.9) по и используя (7.5.8), мы получим

так что если только не что практически можно исключить.

Всегда существует тривиальное решение (7.5.9), для которого формально равно 1. Это для всех как легко проверить. Для получения нетривиального решения, обозначим вектор-столбец и пусть симметричная матрица Тогда (7.5.9) становится матричным уравнением

показывающим, что есть собственное число с соответствующим собственным вектором Поскольку мы хотим найти наибольшее корреляционное отношение, мы ищем наибольшее из нетривиальных собственных чисел. Численное решение (7.5.10) можно получить простым итеративным методом для получения собственных чисел и векторов. Такие итерации сходятся, вообще говоря, к вектору, соответствующему наибольшему числу. Чтобы избежать сходимости к тривиальному решению (которое формально имеет наибольшее собственное число), исходные векторы должны удовлетворять условию

Гутман полагал, что его подход ведет к очкам, которые для модели Тэрстоуна-Мостеллера лишь линейным преобразованием отличаются от тех, что получаются в 4.1. Однако этот метод применим в том случае, когда предположения модели не выполняются. Что касается недостатков, то следует заметить, что методика Гутмана — это скорее процедура оценивания, чем теория распределения.

Читатель может обратиться к работе Гутмана, в которой приведены дальнейшие обсуждения и обобщение подхода на ситуации, в которых сравниваются наборы, а не отдельные объекты.